TOM君の数学・５

きのうの、訂正

実数を次のように書く

ｘｍ＝Ａα＋Σ（ｎ＝１，ｍ）ａｎ＊１０＾（－ｎ）

Ａα、は整数

ｘｍー＞ｘ、　　ｍー＞∞
　　ｘｍ∈有理数、ｘ∈実数

ａｎ∈（０，１，２，３，・・・・、９）

Ｅｍ＝ｅｘｐ（ｘｍ）
　　＝ｅｘｐ（Ａα＋Σ（ｎ＝１，ｍ）ａｎ＊１０＾（－ｎ））
　　＝ｅｘｐ（Ａα）＊ｅｘｐ（Σ（ｎ＝１，ｍ）ａｎ＊１０＾（－ｎ））

ここで、Ａα、は整数、
Σ（ｎ＝１，ｍ）ａｎ＊１０＾（－ｎ））　の項は有理数
　　

ａｎ＊１０＾（ーｎ）≧０

ｅｘｐ（ａｎ＊１０＾（－ｎ））≧１

Ｅｍ＝ｅｘｐ（Ａα）＊ｅｘｐ（ａ１＊１０＾（－１））＊ｅｘｐ（ａ２＊１０＾（－２））＊・・・・・・・・・

ｅｘｐ（Ａα）は定数

Ｅｍ、は単調増加数列で有界

よって、収束

したがって、Ｅｍー＞Ｅ　　（ｍー＞∞）収束

ｅｘｐ（ｘｍ）ー＞ｅｘｐ（ｘ）　　ｍー＞∞

（ｘｍー＞ｘ　ｍー＞∞）

ｘｍ∈有理数、ｘ∈実数、ｅｘｐ（ｘ）、は連続

よって、ｅｘｐ（ｘ）、Ｘは実数、は定義できる

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Ｅｍが有界である証明

ａｎ＊１０＾（－ｎ）≦１０＾（ーｎ＋１）

より、明らか