大小の公理系

こちら、さんの指摘には、敬意を表しておきます
ようするに、部分集合で成り立つことが、一般で成り立つとは限りませんでして
したがって、部分集合（十分条件）の議論では、足りませんでして
背理法で却下の場合、必要十分条件、加えて、多分、必要条件を、使う必要があるわけです
数学、全て、チェックする必要があります