こんにちは！
📝今回は、2026年度 神奈川県公立高校共通選抜、 数学の問3（ア）を解説していきます！
✏️証明問題と図形の長さを求める問いがセットになった、典型的頻出問題です✨
🎓「円周角」「相似」「相似比」をしっかり使って解いていきましょう✨
📖【問題】🔍
問3 次の問いに答えなさい。
(ア) 図1のように、線分ABを直径とする円Oの周上に、2点A, Bとは異なる点Cを、AC > BCとなるようにとる。
また、点Bを含まない弧AC上に点Dを、AB // CDとなるようにとり、点Cを含まない弧AB上に点Eを、AC = CEとなるようにとる。
さらに、線分ACと線分DEとの交点をFとする。
このとき、次の(i), (ii)に答えなさい。
(i) 三角形ABCと三角形CDFが相似であることを次のように証明した。[ (a) ] ,[ (b) ] に最も適するものを、それぞれ選択肢の1〜4の中から1つずつ選び、その番号を答えなさい。
[証明]
△ ABCと △ CDF において、
まず、AB // CDより、平行線の錯角は等しいから、
[ (a) ]
よって、∠ BAC = ∠ DCF ……①
次に、AC = CEより、△ CAE は二等辺三角形であり、その2つの底角は等しいから、
∠ AEC = ∠ CAE ……②
また、弧ACに対する円周角は等しいから、
∠AEC = ∠ ABC ……③
さらに、弧CEに対する円周角は等しいから、
∠CAE = ∠ CDE ……④
②, ③, ④より、∠ABC = ∠ CDE
よって、∠ ABC = ∠ CDF ……⑤
①, ⑤より、[ (b) ]から、
△ABC ∽ △CDF
💡 教室長によるポイント解説！
(i) 証明問題
(a)のヒント：
「AB // CD」という条件に注目します。
平行線の錯角を探すと、∠BAC と等しいのは、 ∠DCA 。
したがって、正解は 3 です！🎯
(b)のヒント：
①で1組の角 「∠BAC = ∠DCF ）」が等しく、⑤でもう1組の角「∠ ABC = ∠ CDF）」が等しいことを記述しています。
このことから△ABCと△CDFの2組の角がそれぞれ等しいことがわかるので、正解は 4 となります！✨
(ii) 長さを求める計算
【解答】 あい√う／え は 11√５／5
解説：
直径に対する円周角の定理より ABが直径なので、∠ACB = 90°
また(ⅰ)の△ABC∽△CDFから、∠DFC＝90°
円周角と弧の定理から、∠CDF＝∠FAE
これらから、△CDF∽△AEF∽△ABC
点Cから線分ABに垂直に線を引いて交わった点をGとすると、OCが円Oの半径で5/2㎝、四角形ABCDが等脚台形なことからOG＝3/2㎝ となり△COGにおいて三平方の定理を適用すると、CG＝2㎝となる。
△CGBにおいて、GB＝1㎝で同様に三平方の定理を適用すると BC＝√5㎝と求められる
さらに、△ABCにおいて三平方の定理を適用すると、AC＝2√5が算出できる。
ここで、△ABC∽△CDFの相似比からDF＝3√5/5 FC＝6√5/5 AF＝4√5/5
△AEF∽△ABCの相似比からEF＝8√5/5
よって、DE＝DF＋EF＝11√5/5
この問題のポイントは、「相似な図形の性質」「直径に対する円周角の定理」「円周角と弧の定理」「等脚台形の性質」「三平方の定理」でした💦
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