結構難しい単語ですが、厳粛に要請すること、とあります。
類義語を調べるとentreat（熱心に請う）とありますので、もうかなり強くお願いする、要請するといったニュアンスのようです。
ただ、これらの間には若干の違いがあり、
adjureは、比較的地位の高い人物が何かを行うことを厳粛に要請するといった文脈で使われるのに対し、
DRIVE OUT CRIME, POLICE ARE TOLD; Mayor and Kennedy Adjure New Members of Force to 'Be Legally Ruthless' (1957年11月27日のNYT記事)
entreatは、どちらかというと地位の低い側がお願いするといった文脈で使われるように見受けられます。
U.S. CITIES ENTREAT POPE TO VISIT THEM (1979年9月16日のNYT記事)
ちなみに、adjureとよく似ている
abjure
は、信条や主張を放棄することを誓うことという意味であり、abjure a religious faithといった使われ方をします。