エクセルで式を代入して解を求める。
固体の力学
例題 自重の線密度P＝2N/mのロープが対称形にｌ＝10m、撓み1%で吊るされている。吊下げ力を求めよ。
P= 2 N/m ｌ＝ 10 m ｙmax＝0.01*l 0.1
Fｘ≈F＝pl^2/8ymax 250 N
つまりロープの自重の 12.5 倍である。
例題 自重の線密度ｐ＝1N/ｍのロープが対象形に距離a＝10mで吊られている。許容される吊下げ力はFmax＝10Nである。
弛み、ロープの長さ、吊下げ点での傾斜を求めよ。
大きな弛みyo＝ 8 N
自重の線密度 1 N/m
距離a 10 ｍ
Fmax 10 N
yo=Fｘ/ｐ＝8N/(1N/m) 8 m
Δymax＝Fx/ｐ(cosh(a/2yo)-1) 1.614029544 m
Fmax＝Fxcosh(a/2yo) 9.614029544 N
吊下げ点での傾斜はtanα＝sinh・a/2yo 0.625
ロープ長さｌ＝2yoｓｉｎh(a/2yo) 10.66387623 m
例題 重さG＝10kNの物体が筒に巻かれたロープに吊下げられている。ロープを保持する力の最大値はＦ＝200Nである。
μo＝0.3、μ＝0.2
G＝ 10000 N F＝ 200 Ｎ μo＝ 0.3 μ＝ 0.2
(a)保持する為にはロープを筒に何回巻かねばならないか。
e^(μoψ)＝G/F、μoψ＝lnG/F
ψ＝ln(G/F)/μo 13.04007668 rad
巻き回数＝ψ/2π 2.075392663 回
その時のFはいくらか。
F＝Ｇ/e^(μoφ)
等速で滑る為には
F＝G/e^(μ5π)
例題 厚さ1mmの石英板に厚さ方向振動が励起される。この超音波発振器の基本振動数はいくらか。
石英板の基本振動数fo＝288kHｚ・ｃｍ/ｄ
厚さｄ 0.1 ｍ
基本振動数ｆ 2880 2.88 MHz
例題 ２つの部屋が６m^2の壁で仕切られている。受温室の等価吸音面積も同じく６m^2とする。発音室では800Hzの音が60ｄBで出ている、受音室では音圧レベルが１５dBと測定された。
a) 空気中に伝わる音の遮音度はいくらか。
S：部屋面積 6 m^2
Ａ：等価吸音面積 6 m^2
Ls： 60 dB
Le： 15 dB
音の遮音度 45 dB
例題 天井の上を基準となるハンマーで叩く、天井下の測定室は広さ60m^2で、音圧レベルは40dBと測定された。この部屋の残留時間は0.1ｓである。規準化床衝撃音レベルはいくらか。
L＝ 40 ｄB V＝ 60 T＝ 0.1
A＝0.163V/T 97.8
LT＝L+10log10(Ａ/10) 49.90338855 dＢ
光学
例題 内部の温度が2000℃の炉についている10cm^2の窓から出る放射束はいくらか。
σ：シュテファン-ボルツマン定数＝ 5.67E-08 w/m^2k^4 T 2273
φet＝σA1T^4 1513.494342 w
例題 太陽光の最大放射がλmax＝0.55μmにあって、大気の吸収を考慮しないとき、太陽の表面温度はいくらか。
λmaxＴ＝ 2896 μm・ｋ
λmax＝ 0.55 μm
T＝λｍａｘ/λmax 5265.454545 ｋ
例題 ランプが、r=3mの距離にあるA＝0.1m^2の面を、角度ε2＝45°で照らしている。ランプの照射方向への光度は80cdである。
空間角ω2＝1/r^2Acosε2ωo 0.007856742 A＝ 0.1 m^2
r= 3 m^2
ε2＝ 45 0.785398163 0.707106781
I(ε1)＝ 80 cd
a）Ａに当たる光束はいくらか。Φ=Iω^2 0.628539361 Im
b)Aの照度はいくらか。E＝φ/A 6.285393611 Iｘ
例題 40°の角度をなす2面鏡は、物体も勘定にいれていくつの像を作るか。
角度 40°
n=360/角度 9
例題 曲率半径r=64cmの凹面鏡の頂点から48cmの位置に高さ10cmの物体がある。通常の方程式及びニュートンの形を用いて、
像の種類、位置及び大きさを求めよ。
ｒ＝ 64 ｓ＝ -48 ｆ'＝r/2 32
s'＝f・s/(f+s) 96 cm
β’＝ｓ’/ｓ
すなわち、像は物体の2倍の２０ｃｍの大きさで、倒立である。
ニュートンの形式のよれば：ｚ＝ｓ+ｆ’＝ -16
ｚ’＝ｆ’^2/z 64 cm
ｓ’＝ｆ’+ｚ’ 96 cm
上記の条件で凸面鏡と25cmの大きさの物体の場合について解け、
25
ｓ’＝ｆ’s/(ｆ’+s） -14.03508772 cm
β’＝ｓ’/ｓ 0.561403509
・
例題 光が空気中から60°の角度で水の表面に当たる。N21=4/3,屈折角及び偏角はいくらか。
sinβ＝3/4sin60 0.649519053 α＝ 60
β＝ 40.5
δ＝α-β 19.5
例題 光が10mm厚のガラス板に60°の角度で当たって通過する際の平行移動量はいくらか。ただし、空気からガラスへの屈折率は≈3/2である。
d= 10 mm 角度 60 ° 屈折率 1.5
平行移動量Δ＝ｄsinα(1-（cosα/√(n^2-sin^2・α)) 4.979501868
例題 光が屈折率n=1.5のガラス板を直角に通過する際に、反射によって何％失われるか。
n= 1.5
ρ＝((n-1)/(n+1))^2= 0.04 4 %
例題 焦点距離ｆ’=0.1mの凸レンズで、レンズの前ａ＝-0.15mのところにあるy=5cmの物体の像を結ばせる。
ａ＝ -0.15 m ｆ’＝ 0.1 m
a）像のレンズからの距離a’はいくらか。
a’＝af’/a+ｆ’ 0.3 m レンズ後方
b)像の大きさはいくらか。
y'/y=a'/a 0.1 ｍ 像は倒立し大きさは10cm
例題 曲率半径が20cmと30cmの凸レンズがある。ガラスの屈折率はn=1.6、レンズの屈折力と焦点距離はいくらか。
ｒ１＝ 0.2 m ｒ２＝ -0.3 m
D＝0.6(1/r1-1/r2) 5 dpt
f'=1/D 0.2 m
例題 前問の両凸レンズに焦点距離ｆ’＝-15の凹レンズを組み合わせた。その組合せは凹凸どちらのレンズか。
D１＝ 5 ｄｐｔ ｆ’＝ -0.15 D2＝１/ｆ’２ -6.666666667
D＝D１+D2 -1.666666667 ｄｐｔ
f'=1/D -0.6 m
例題 ｆ＝60mmの拡大鏡の倍率は、標準視力（l=250mm)及び遠視(l=360mm)に対していくらか。
ｆ＝ 60 ｌ＝ 250 ｌ’＝ 360
ΓL＝ｌ/ｆ+１ 5.166666667
Γ'L＝ｌ/ｆ+１ 7
例題 ある顕微鏡の対物レンズ(”40/0.65")の結像倍率はβ'1＝40:1で、開口数A＝0.65、接眼レンズ("8*")の拡大倍率はΤ2'=8である。光学的な筒の長さはl=180mmである。
β’1＝ 40 Τ2 8 t 180
a)総合倍率はいくらか。Τ’M＝β'1Τ'2 320
b)対物及び接眼レンズの焦点距離はいくらか。
原子物理学、核工学及び相対性理論
例題 水素(M＝2g/mol)について０°(T＝273ｋ)におけるつぎの大きさはいくらか。
R＝ 8.315 T＝ 273
a)平均分子速度 k= 1.38E-23
υm＝√(8RT/(πM)) 1717.332828 m/s
b)分子の平均並進運動エネルギー
Ｅtr=3/2kT 5.6511E-21 J
例題 窒素(M＝28g/mol、d=0.38nm)について、1μbarおよび0°のとき平均自由行程はいくらか。
ただし、標準圧力pa＝1.013barおよび0℃での分子数はno=2.7*10^25単位1/m^3ロシュミット数
1 μbar 1.013 bar no 2.7E+25
N＝no＝窒素圧力/標準圧力 2.66535E+19 d 0.38
l＝1/(√(2)*π*d^2*N 5.848084207 cm
例題 電子がａ)250km/s、b)250000km/sの速度を得るにはいくらの電位差の中を通過しなければならないか。
a)υ＝593√U 250
U＝υ^2/593^2 0.177734047
b)U＝mc^2/zeo((1-(υ^2/c^2)^(-1/2)-1) 414079.2188 ｖ 414.0792188 kv
υ^2/c^2 0.694444444
(1-υ^2/c^2) 1.809068067
m 9.11E-31 c^2 9E+16
υ：速度 250 ｋｍ/ｓ
υ：速度 250000 ｋｍ/ｓ 2.5
c 3
zeo 1.602E-19
光量子
黒体に対するブランクの放射法則
Leλ(λ、T)ｄλ=2c^2h/((λ^5(e^(hν/κT))-1)
光子効果による電子の解放(アイシュタイン) E：光子エネルギー(1電子ボルト=1.602・10^-19Ws) E=hν=A+me/2・υ^2=A+eoU
光子エネルギーが高い場合の相対論的方程式：hν=A+mec^2((1/√(1-(υ/c)^2)^-1)
光子の質量と運動量：m=hν/c^2=h/cλ p=h/λ=hν/c
電子の衝突による光の励起：ν=epU/h
コンプトンの効果
衝突後の光子の波長：λ’=λ0+2λc・sin^2(∂/2)、λc=h/moc
衝突された粒子の反跳角：tanψ=1/(1+λc/λ0)・cot(∂/2)
衝突後の粒子のエネルギー：E運動=hc/λ・(1/(1+λ0/Δλ)=moc^2(1/(√(1-(υ/c)^2)-1)
Δλ=λ’-λ0=2λc・sin^2(∂/2)
高エネルギー光子による対生成あるいは(その逆として)電子-陽電子の対消滅によるγ量子の放射
hν～(E+)+(E-)+2mcec^2 (hν≧1.02MeV)
光子の波長とエネルギーとの関係に対する数値計算式：λE=1.24 λ[nm]、E[keV]
例題 波長λ=300nmの光子(紫外線)によって、亜鉛(Azn=6.33・10^-19Ws)から解放された電子のエネルギーと速度はいくらか。
波長
Azn
E：光子エネルギー(1電子ボルト=1.602・10^-19Ws)
E=hν=A+me/2・υ^2=A+eoU