さて、今日の大数ゼミで扱った問題のなかの1つを紹介します。
平面上の点Oを中心とし半径1の円周上に相異なる3点A,B,Cがある。
△ABCの内接円の半径rは1/2以下であることを示せ。 （京都大学2006年後期）
この証明で使う面白い性質が下です。
0＜A,B,C,＜πの時、(sinA+sinB+sinC)/3≦sin（A+B+C）/3
これ面白くないですか？sinの中身をくくり出せるとなると応用が広がりそうです。この性質のポイントは、「三角形の重心は必ず三角形の内部」にあるです。0＜x＜πにおけるsinのグラフを思い浮かべてみてください。この時、y=sinxは上に凸なので、x座標A,B,Cの異なる三点を結んでできる三角形の重心（（A+B+C）/3,(sinA+sinB+sinC)/3）はy=sinxとx軸で囲まれる範囲の内部あるいは周に存在します。従ってsin（A+B+C）/3はそれよりも上の場所にあるのです。
この問題を僕が解いた時は、外接円の中心を始点として、内心のベクトルを表せばよいと考えたのですがあまりうまくいきませんでした。
今日の勉強予定
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鉄緑会高3英語問題集 1§ →○
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