微積はもうすぐ終わりだ。次の本は少し書き方を変えないと時間かかって仕方ない。上手い具合に出来るといいが。
3.2 重積分
累次の次は重。
累次積分は、x方向あるいはy方向にスライスして、薄い面を重ね合わせて体積を求めたが、重積分はx方向y方向両方を同時に細分化する。すると小さな長方形が出来るのでそれにｚ方向の高さ、その微小長方形領域のf(x,y)の値を掛けると微小長方形部の体積となる。これを領域全体に足し合わせると全体の体積となる。
累次積分が、何そうも生地を重ねてパイを作るような感じだとするとこちらは塵も積もれば山となる感じか。
和の記号Σを使って表すと、累次積分は Σ{Σx×f(x,y)}y だが、重積分はΣΣxy×f(x,y)。
やってることは同じじゃん、と思うけど、累次積分の値と重積分の値が等しくなるのは積分領域Dがf(x,y)が連続の場合。
連続でない時は書いてないので、成り立たない時もあるんだろう。常に成り立たないかどうかは分からない。
連続でない時ってどういう時だ。階段状の場合かな。段差のところで関数が2値を取らないようになればそこで不連続な気がする。この場合は段差のところで領域を分けて足せば体積は計算できそうだ。
重積分の公式が3つ載っている。面倒なんで簡略化すると
∫∫{f + g} dxdy = ∫∫f dxdy + ∫∫g dxdy
∫∫k・f dxdy = k ∫∫f dxdy k : 実数
という分配法則みたいなもの。呼び名があってるか分からないけど。
もう1個は領域を二つに分けられるというもの。感覚的にはリンゴを二つに切っても体積は変わらない、というもの。分け方はリンゴを切るように分けないとまずい。数学的には実際に切らなくていいので、分けた時の領域が重なる部分があるようにも分けられる。こんな分け方すると成り立たない。