【算数典型問題連載】第5回 §1-6 整数の性質最大公約数・最小公倍数

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　初回の記事を受けまして、中学受験の算数の典型問題の解説をしていきます。はじめは『整数の性質』についてになります。この単元は難関校では好んで毎年出題されている必須単元となります。ですから、今の時期から典型問題をしっかりと定着さておき、過去問演習に備えることが大切になります。その上、入試ではこの整数の性質＝数論問題が合否を分ける場合もあり軽視の出来ない単元になります。今回は、最大公約数・最小公倍数の問題ですが、余り馴染みのない問題になります。テクニックと知識が必要な問題なので確実な定着が求められます。サピックスですと小６の夏期講習のテキストに掲載されています。

　問題は私が日頃より用いている典型問題のプリントからの抜粋になります。例題部分だけになりますので、定着をさせるための類題部分の掲載はしておりません。ですから、これから掲載する問題だけを解けたとしても完璧とは言えないことをはじめに断っておきます。

　前回の記事はこちらより ⇒ §1-5 整数の性質剰余の問題

はじめに(簡単に自己紹介)

　はじめましての方は閲覧ありがとうございます。中学入試理系の達人と申します。中学受験と銘打っておりますが、高校受験、大学受験(医学部)にも最難関校への指導実績が御座います。家庭教師として独立する前は大手進学塾にて、20年以上の指導経験が御座います。元大手進学塾では、基幹校舎や教務部などに在籍しており、志望校別コースの科目責任者も務めておりました。テキスト作成や小テスト作成、志望校別模試作成、過去問オリジナル解説などの作成も行っており、慣れております。

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今回のテーマ §1-6 整数の性質最大公約数・最小小倍数

例題

例題解説とコメント

　以下、各問題に対して注意点やコメントを述べていきます。

例題１

　最大公約数と最小公倍数は連除法を用いて求めるのが一般的です。明らかに求められるものは暗算推奨になりますが。この問題は連除法のように書いていき、最小公倍数についての式を立てて答えを出します。基本的な問題になります。これは落とせない問題です。

例題２

　条件が隠されていて見にくい問題です。連除法を用いるという部分は変わりません。この問題において、最大公約数の条件が与えられていないので、ここでは最大公約数をＧ(greatest common divisorの略)と置いて考えていきます。すると上記のような形になります。このとき、ａとｂが互いに素になることは要注意!!

　次に与えられている数を式にしていきます。ここではいつもと与えられているものが異なるので少し混乱するかもしれませんが、算数の基本である与えられた条件をヒントにして問題を解いていくという部分から、上記の式が導けるはずです。その２つの式を割ることで最大公約数を求めることが出来ます。すると、ａ×ｂまで辿り着きます。互いに素であることに注意して求めていけば答えまで辿り着きます。慣れが入る問題であるといえます。

例題３

　割合が与えられているのでＡ＝①としてしまうとはまってしまいます。ですから、ここではＢ＝２×Ａ＋12として連除法に持ち込むべきでしょう(この形に出来るかは経験です)。後は例題１と同様にして答えを求めれば良いだけです。工夫がいる問題ですが知っていれば簡単な問題です。

例題４

　３つの数の最大公約数と最小公倍数は、２つでも割り進むことが可能ということから、例題１～３までの方法では不可能です。ですから、この場合は整数問題の基本に戻り、

整数問題で困ったら？＝素因数分解で活路を開く

ということになります。

　これに従って、素因数分解をすると上記にようになります。このとき、最大公約数の12は必ず含まないといけないのでここはいじらないでおくこと。その上でｘについて考えていきます。まず、ｘは５を素因数として必ず含むこと、２は素因数としては含んでいけないことがわかるでしょう。３はどちらでもよいことから、答えは２通り考えられるわけです。この問題はどちらかというと高校入試や大学入試などでは頻繁に用いるテクニックですが出題例があるので押さえておかねばなりません。

　最後に、この連載では入試の典型問題とその解法を紹介していくものになります。引用は私が普段使用しているプリントの例題部分からのものですがここで紹介する問題を解けるようにしただけでは難関校には合格することは困難という理由から公開をすることにしました。全てを公開することはありません。何故なら、定着をさせるための類題部分はカットしてあるからです。

　基本的に時間のある時に更新しますが、受験生のためにも早く公開できるように努めます。公開単元は以下の通りになります。

　現在、新学年の募集＆学習相談も随時募集しています。

お気軽にお問合せ下さい。

　次回更新予定日 ☞ 入試対応のため、2月中旬頃更新します

★著者紹介★

　性別は男。あらゆる受験の精通するプロ家庭教師(算数・数学・理科)。大手進学塾時代は高い合格率を残しておりその合格率は８５%を超える高い合格率を残してきた。合格率が全校舎１位になることもあり、講師アンケートにおいても1位を獲得するなど高い評価を得る。その傍らで、志望校別コースの算数科目責任者を歴任し、テキスト作成や模試作成なども行っていた。算数・理科において高い指導力を持っている。

　家庭教師においては90%以上の高い志望校合格率を誇り、どこの学校にも対応出来る講師。難関校入試に特に強く筑駒、開成、麻布、駒東、聖光、栄光、桜蔭、女子学院、雙葉、フェリスなどに関しては極めて高い成績を残している。勿論、それ以外の学校の対策も万全に行う自信と経験を持っている。

　プロフィールなどの詳細はお問合せ頂ければ差し上げることが出来ます。宜しくお願いします。

趣味：美食巡り、旅行（るるぶだけは買ってあります）、ゲーム（勉強とゲームは同じです） etc

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