これがwc2010.rbのソースコードである．
-----
#! /usr/bin/ruby
#
# World Cup 2010 point simulator
# Copyright (C) 2010 Yamauchi Hitoshi
# License: new BSD.
#------------------------------------------------------------
require "getoptlong.rb"
WC2010 = "0.0.0"
MAX_MATCHES = 64
#------------------------------------------------------------
# class Wc2010
#------------------------------------------------------------
class Wc2010
# constructor
def initialize()
# last year's result as probability distribution function
@sample = [
4, 2, 0, 2, 1, 0, 0, 0, 2, 1,
0, 1, 3, 1, 0, 1, 3, 1, 0, 3,
2, 0, 2, 1, 0, 0, 1, 0, 4, 0,
2, 2, 1, 0, 3, 0, 2, 0, 1, 0,
6, 0, 2, 1, 0, 0, 2, 0, 0, 2,
1, 1, 0, 0, 2, 0, 1, 1, 0, 2,
0, 4, 3, 1, 0, 3, 1, 2, 2, 0,
2, 2, 2, 1, 1, 1, 0, 0, 3, 2,
0, 2, 2, 1, 1, 4, 2, 2, 0, 1,
1, 0, 0, 2, 2, 0, 2, 0, 2, 1,
1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 3, 0,
1, 3, 1, 1, 3, 0, 0, 0, 0, 1,
0, 2, 0, 1, 3, 1, 1, 1]
@max_point = @sample.max {
|a,b|
a <=> b
}
# sample bin. Array [0, 0, ..., 0], size == @max_point + 1
@sample_bin = Array.new(@max_point + 1, 0)
@accum_dist = Array.new(@max_point + 1, 0)
# put them to the bin
for val in @sample
@sample_bin[val] = @sample_bin[val] + 1
end
@accum_max = 0
idx = 0
for hist in @sample_bin
@accum_max = @accum_max + hist
@accum_dist[idx] = @accum_max
idx = idx + 1
end
idx = 0
for val in @accum_dist
idx = idx + 1
end
@range_array = []
@range_array << Range.new(0, @accum_dist[0], true)
# create range objects
idx = 0
while idx < (@accum_dist.length - 1)
@range_array << Range.new(@accum_dist[idx], @accum_dist[idx + 1], true)
idx = idx + 1
end
idx = 0
for r in @range_array
idx = idx + 1
end
end
# get random value -> point with the same distribution of last year
# \param _rd uniform random value
# \return generated random variable
def get_point(_rd)
begin
idx = 0
for r in @range_array
if r.include? _rd then
return idx
end
idx = idx + 1
end
raise RuntimeError.new(_rd.to_s + " is not in any range.\n")
end
end
# run the simulation
def run()
begin
srand(42) # always the same for debug.
idx = 0
while idx < MAX_MATCHES do
rd1 = rand(@accum_max)
rd2 = rand(@accum_max)
pt1 = get_point(rd1)
pt2 = get_point(rd2)
print "[" + (idx + 1).to_s + "]: " + pt1.to_s + ' ' + pt2.to_s + "\n"
idx = idx + 1
end
end
end
end
#------------------------------
# command line option parsing
#------------------------------
args = GetoptLong.new();
args.set_options(['--version', '-V', GetoptLong::NO_ARGUMENT]);
begin
args.each_option do |name, arg|
# print(name + ", " + arg + ":\n")
eval "$OPT_#{name.sub(/^--/, '').gsub(/-/, '_').upcase} = '#{arg}'"
end
rescue
exit(1)
end
#--- show version
if $OPT_VERSION
$stderr.print(WC2010 + "\n")
exit(1)
end
wc = Wc2010.new()
wc.run()
# --- end of wc2010.rb
友人が，World Cup の点数予想皆でしようではないかというということを持ちかけてきた．しかし，点数予想と言われてもさっぱり見当がつかない．そこで日曜研究家として，この点数予想のシミュレーションプログラムをモンテカルロ法で作ってみることにした．以前からモンテカルロ法のシミュレータには興味があり，同僚にいろいろ聞いていたのだが，特定の分布関数を模倣するタイプのものを作ったことがなかったため，これを機会に作ってみようと思ったのだ．
私の会社はモンテカルロ法(の一種)をシミュレーションするプログラムを作成して販売している．これは物理現象などのシミュレーションには使えるが，サッカーの予想にこれが使えるかと言えば，まあ，かなり難しいだろう．一時間かそこらしか時間をかけたくないこともある．ワールドカップファンであれば，別に計算しなくてもある程度わかるだろう．それに個々の試合の結果はまず予想できない．アシモフの銀河帝国興亡史のハリ・セルダンの社会心理学と同様，128試合の点数の平均点数とか分布とかはある程度予想できるが，個々の試合の結果はまったくわからないのである．しかし私にはまったくわからないので，それよりは多少ましというものでも良いのではないかと思った．この方法は株価の予想にも使われているという話である．
数学では仮定の範囲内でかなり正しい答えを導くことができる．仮定が重要だ．問題はどこまで仮定が実際の世界と比較して正しいのかである．私が簡単に計算できるものとして，この問題に対して次の仮定をした．
仮定1. 各試合でそれぞれのチームが取る点数は独立とする．
仮定2. 今回のワールドカップでの各試合での得点の分布は前回のものと同じとする．
まず，仮定1 であるが，これはとんでもない仮定である．独立ということは，相手のチームに得点が依存しないのである．どんな相手と戦ってもチームは同じ得点が得られる．無茶である．しかしはっきり言って，全然ワールドカップを知らない私には，「ワールドカップとなれば，たいがいのチームの実力は伯仲しているんじゃないかな」と単純に思ったわけである．それが仮定1である．これが無理な仮定であるというのは後で結果を見ればわかるだろう．仮定が間違っていればどんな数学も役立たず，という良い例になるかもしれない．
次に仮定2であるが，友人の点数予想の Web Page には去年のものしかないのでこうした．過去全てのワールドカップの統計をとったらいいとは思うし，プログラムには単にデータを入力すればいいので簡単に対応できるが，これは私のめんどくさがりからくる限界である．データは前回だけ，という恣意的な仮定というのもあまり現実としては役に立たないのだろうれども，開催回によってワールドカップには得点数に極端な差はないんじゃないか? もちろん私は知らないけれども．．．
さて，この二つの仮定に基いて点数予想をするプログラムを作ってみた．それが wc2010.rb である．このプログラムは去年の点数分布と似た分布になる点数分布を ruby の疑似乱数生成器によって生成する．問題は，疑似乱数生成器をいかに初期化するか(その乱数発生の種をいくつにするか)，であるが，これは運である．私の誕生日にするとか，今のこの時間の秒数を年の初めから数えたものにするとか，いろいろあるが，単純に 42 にする．
前回 2006 年の得点数の分布は以下である．
WC2006 result distribution
Points
0 :************************************************
1 :************************************
2 :****************************
3 :***********
4 :****
5 :
6 :*
私の Monte-Carlo シミュレーション結果の予想の分布は以下である．
Points
0 :******************************************
1 :******************************************
2 :*******************************
3 :*******
4 :*****
5 :
6 :*
似ている分布になっていることがわかるであろう．前回 5 点をとった試合がなかったので，5点が今回の試合であったら既に手も足も出ない．また，7点以上もだめである．
さて，本プログラムの点数予想も載せておこう．今の所，第4試合，ARG:NGA の1-0しか当てていない．やはり点数は相手によらないという仮定に無理がありすぎたか．
Estimate Result
[1]: 2 1 1 1
[2]: 2 0 0 0
[3]: 2 1 2 0
[4]: 1 0 1 0 -> match ARG:NGA
[5]: 2 3 1 1
[6]: 1 2 0 1
[7]: 1 1 0 1
[8]: 2 3 4 0
[9]: 2 2 2 0
[10]: 0 0 1 0
[11]: 0 1 1 1
[12]: 0 2 1 1
[13]: 2 0 0 0
[14]: 0 0
[15]: 1 1
[16]: 0 0
[17]: 1 1
[18]: 0 4
[19]: 2 2
[20]: 1 2
[21]: 1 4
[22]: 0 6
[23]: 2 1
[24]: 1 0
[25]: 1 1
[26]: 0 1
[27]: 1 2
[28]: 1 3
[29]: 1 3
[30]: 0 2
[31]: 1 0
[32]: 0 1
[33]: 0 0
[34]: 0 2
[35]: 1 0
[36]: 3 3
[37]: 0 2
[38]: 1 0
[39]: 1 2
[40]: 2 1
[41]: 1 0
[42]: 4 0
[43]: 0 0
[44]: 1 1
[45]: 0 1
[46]: 2 0
[47]: 0 4
[48]: 0 1
[49]: 2 0
[50]: 1 2
[51]: 1 0
[52]: 2 0
[53]: 0 1
[54]: 1 2
[55]: 0 2
[56]: 0 0
[57]: 1 1
[58]: 2 4
[59]: 3 1
[60]: 0 2
[61]: 1 2
[62]: 1 2
[63]: 1 0
[64]: 0 2
私の会社はモンテカルロ法(の一種)をシミュレーションするプログラムを作成して販売している．これは物理現象などのシミュレーションには使えるが，サッカーの予想にこれが使えるかと言えば，まあ，かなり難しいだろう．一時間かそこらしか時間をかけたくないこともある．ワールドカップファンであれば，別に計算しなくてもある程度わかるだろう．それに個々の試合の結果はまず予想できない．アシモフの銀河帝国興亡史のハリ・セルダンの社会心理学と同様，128試合の点数の平均点数とか分布とかはある程度予想できるが，個々の試合の結果はまったくわからないのである．しかし私にはまったくわからないので，それよりは多少ましというものでも良いのではないかと思った．この方法は株価の予想にも使われているという話である．
数学では仮定の範囲内でかなり正しい答えを導くことができる．仮定が重要だ．問題はどこまで仮定が実際の世界と比較して正しいのかである．私が簡単に計算できるものとして，この問題に対して次の仮定をした．
仮定1. 各試合でそれぞれのチームが取る点数は独立とする．
仮定2. 今回のワールドカップでの各試合での得点の分布は前回のものと同じとする．
まず，仮定1 であるが，これはとんでもない仮定である．独立ということは，相手のチームに得点が依存しないのである．どんな相手と戦ってもチームは同じ得点が得られる．無茶である．しかしはっきり言って，全然ワールドカップを知らない私には，「ワールドカップとなれば，たいがいのチームの実力は伯仲しているんじゃないかな」と単純に思ったわけである．それが仮定1である．これが無理な仮定であるというのは後で結果を見ればわかるだろう．仮定が間違っていればどんな数学も役立たず，という良い例になるかもしれない．
次に仮定2であるが，友人の点数予想の Web Page には去年のものしかないのでこうした．過去全てのワールドカップの統計をとったらいいとは思うし，プログラムには単にデータを入力すればいいので簡単に対応できるが，これは私のめんどくさがりからくる限界である．データは前回だけ，という恣意的な仮定というのもあまり現実としては役に立たないのだろうれども，開催回によってワールドカップには得点数に極端な差はないんじゃないか? もちろん私は知らないけれども．．．
さて，この二つの仮定に基いて点数予想をするプログラムを作ってみた．それが wc2010.rb である．このプログラムは去年の点数分布と似た分布になる点数分布を ruby の疑似乱数生成器によって生成する．問題は，疑似乱数生成器をいかに初期化するか(その乱数発生の種をいくつにするか)，であるが，これは運である．私の誕生日にするとか，今のこの時間の秒数を年の初めから数えたものにするとか，いろいろあるが，単純に 42 にする．
前回 2006 年の得点数の分布は以下である．
WC2006 result distribution
Points
0 :************************************************
1 :************************************
2 :****************************
3 :***********
4 :****
5 :
6 :*
私の Monte-Carlo シミュレーション結果の予想の分布は以下である．
Points
0 :******************************************
1 :******************************************
2 :*******************************
3 :*******
4 :*****
5 :
6 :*
似ている分布になっていることがわかるであろう．前回 5 点をとった試合がなかったので，5点が今回の試合であったら既に手も足も出ない．また，7点以上もだめである．
さて，本プログラムの点数予想も載せておこう．今の所，第4試合，ARG:NGA の1-0しか当てていない．やはり点数は相手によらないという仮定に無理がありすぎたか．
Estimate Result
[1]: 2 1 1 1
[2]: 2 0 0 0
[3]: 2 1 2 0
[4]: 1 0 1 0 -> match ARG:NGA
[5]: 2 3 1 1
[6]: 1 2 0 1
[7]: 1 1 0 1
[8]: 2 3 4 0
[9]: 2 2 2 0
[10]: 0 0 1 0
[11]: 0 1 1 1
[12]: 0 2 1 1
[13]: 2 0 0 0
[14]: 0 0
[15]: 1 1
[16]: 0 0
[17]: 1 1
[18]: 0 4
[19]: 2 2
[20]: 1 2
[21]: 1 4
[22]: 0 6
[23]: 2 1
[24]: 1 0
[25]: 1 1
[26]: 0 1
[27]: 1 2
[28]: 1 3
[29]: 1 3
[30]: 0 2
[31]: 1 0
[32]: 0 1
[33]: 0 0
[34]: 0 2
[35]: 1 0
[36]: 3 3
[37]: 0 2
[38]: 1 0
[39]: 1 2
[40]: 2 1
[41]: 1 0
[42]: 4 0
[43]: 0 0
[44]: 1 1
[45]: 0 1
[46]: 2 0
[47]: 0 4
[48]: 0 1
[49]: 2 0
[50]: 1 2
[51]: 1 0
[52]: 2 0
[53]: 0 1
[54]: 1 2
[55]: 0 2
[56]: 0 0
[57]: 1 1
[58]: 2 4
[59]: 3 1
[60]: 0 2
[61]: 1 2
[62]: 1 2
[63]: 1 0
[64]: 0 2
Page 11: Light implementation
光源の implementation に関して次の記述がある．
Ideally, the performance of the light transport algorithm should depend only on what the scene represents, rather than the details of how it is represented. For example, consider a scene illuminated by a square area light source. If this light source is replaced with a 10 by 10 grid of point sources, then the visual results will be nearly identical. However, the performance of many light transport algorithms will be much worse in the second case.
なぜ 10x10 の方が高価なのか? Area light source をさらにサンプルする可能性は? と素人なりに疑問に思ったのであるが，これはおそらくあくまで例であって，renderer には実際に人間が置きたいものを置いた方が最適化をしやすいという意味のようである．(Thanks to D.S.)
Page 14: unbias and consistent
Unbias と Consistent についてここで述べられている．式を見ると，
Consistent: error -> 0
Unbias: E(error) -> 0
である．consistent は最終的に error が 0 に収束することで正しい解答がいつかは得られるという意味である．この意味では途中でどんなに間違いがあっても 最後に収束しさえすれば良い．
しかし，unbias では平均的に Error が 0 であるので，途中の結果にあまり大きな間違いがあれば unbias にならない．
つまり，consistent の方が広い概念である．(ただ，ここでは関数が積分可能なものという仮定があると思う．この問題に対してそれ自体は無理な仮定ではないとは思う．) 積分可能で値が確定する場合には，unbias であれば，常にconsistent であるだろう．
ところで，error の Variance が zero に近づくという考えはないのだろうか．これまで，error そしてその 1 次 moment の average が話題になっていたのだから，2次 moment も話題になってもいいような気がするのであるが，これは誰かに聞いてみよう．
光源の implementation に関して次の記述がある．
Ideally, the performance of the light transport algorithm should depend only on what the scene represents, rather than the details of how it is represented. For example, consider a scene illuminated by a square area light source. If this light source is replaced with a 10 by 10 grid of point sources, then the visual results will be nearly identical. However, the performance of many light transport algorithms will be much worse in the second case.
なぜ 10x10 の方が高価なのか? Area light source をさらにサンプルする可能性は? と素人なりに疑問に思ったのであるが，これはおそらくあくまで例であって，renderer には実際に人間が置きたいものを置いた方が最適化をしやすいという意味のようである．(Thanks to D.S.)
Page 14: unbias and consistent
Unbias と Consistent についてここで述べられている．式を見ると，
Consistent: error -> 0
Unbias: E(error) -> 0
である．consistent は最終的に error が 0 に収束することで正しい解答がいつかは得られるという意味である．この意味では途中でどんなに間違いがあっても 最後に収束しさえすれば良い．
しかし，unbias では平均的に Error が 0 であるので，途中の結果にあまり大きな間違いがあれば unbias にならない．
つまり，consistent の方が広い概念である．(ただ，ここでは関数が積分可能なものという仮定があると思う．この問題に対してそれ自体は無理な仮定ではないとは思う．) 積分可能で値が確定する場合には，unbias であれば，常にconsistent であるだろう．
ところで，error の Variance が zero に近づくという考えはないのだろうか．これまで，error そしてその 1 次 moment の average が話題になっていたのだから，2次 moment も話題になってもいいような気がするのであるが，これは誰かに聞いてみよう．