Veach 論文に関する私的補足(19) pp.272-282

p.272 Twice brighter sample

Importance sampling を Light と BRDF に基づいて行なった場合の例が p.270の図9.6に示されている．ここでその図を引用しておく．この場合，bias を避けるために，importance の weight が probability でcompensate されているので，次のような面白い式ができる．


図1



ここで，hat{w_2} = p_2/(p_1 + p_2)．注目するのは，p_1, p_2のこの場合での値である．p_1 が値を持つ領域では p_2 は小さい．p_1 >> p_2,しかし上式は図の赤い線のような，たまたま p_1 の領域で p_2 のサンプルが発生した場合である．一般に p_2 の領域は大きく， p_1 の領域は小さいので，このようなことはほとんど起きない．しかし，起きた場合には，そのcontributionは f/(p_1 + p_2) -> f/p_1 であり(p_1 >> p_2 より)，これは p_1 での contrubution に近い．これが，図 9.5(c)の所々の明い点であると説明している．これは面白い．もちろん，これはサンプル数が少ない時のbad luck の一種である．

サンプル数が増加するに従って， p_1 と p_2 の密度の違いから，この「たまたま」二倍明るい状況はなくなっていく．サンプル数が少ない場合の variance が大きい場合の例がここにある．

p.282 Figure 9.12(a)

図9.12(a)は光源に近い部分に暗くてノイズの多い領域ができる．しかし，この手法は light サンプルであるから，暗いのは light をミスしているからではない．では，なぜか．

この状況ではサンプル点があまりに光源に近いので，cos 項が 0 になってしまうことが暗くなる理由である．

そして，ノイズがある理由は，図2 に示すように，面光源をサンプルする場合， geometry 項がずいぶん変化してしまうためである．ある程度光源との距離があれば，面光源のたとえば，下部と上部をサンプルした場合には距離の差は，距離がほとんど無い場合に比較して安定した距離になっている．しかし極端な場合，light とサンプル面との境界では，距離がほぼ 0 から光源の高さの対角線まで急激に変化する．これがvariance の原因になる．つまり，光源をサンプルしている場合，光源に近いのに暗くてノイズが多くなる，ある意味，近すぎて計算が不安定になる，という状況が発生している．

図2

謝辞
Thanks to Matthias, Carsten, Daniel.

Veach 論文に関する私的補足(19) pp.272-282

p.272 Twice brighter sample

Importance sampling を Light と BRDF に基づいて行なった場合の例が p.270の図9.6に示されている．ここでその図を引用しておく．この場合，bias を避けるために，importance の weight が probability でcompensate されているので，次のような面白い式ができる．


図1

ここで，hat{w_2} = p_2/(p_1 + p_2)．注目するのは，p_1, p_2のこの場合での値である．p_1 が値を持つ領域では p_2 は小さい．p_1 >> p_2,しかし上式は図の赤い線のような，たまたま p_1 の領域で p_2 のサンプルが発生した場合である．一般に p_2 の領域は大きく， p_1 の領域は小さいので，このようなことはほとんど起きない．しかし，起きた場合には，そのcontributionは f/(p_1 + p_2) -> f/p_1 であり(p_1 >> p_2 より)，これは p_1 での contrubution に近い．これが，図 9.5(c)の所々の明い点であると説明している．これは面白い．もちろん，これはサンプル数が少ない時のbad luck の一種である．

サンプル数が増加するに従って， p_1 と p_2 の密度の違いから，この「たまたま」二倍明るい状況はなくなっていく．サンプル数が少ない場合の variance が大きい場合の例がここにある．

\section{p.282 Figure 9.12(a)}

図9.12(a)は光源に近い部分に暗くてノイズの多い領域ができる．しかし，この手法は light サンプルであるから，暗いのは light をミスしているからではない．では，なぜか．

この状況ではサンプル点があまりに光源に近いので，cos 項が 0 になってしまうことが暗くなる理由である．

そして，ノイズがある理由は，図2 に示すように，面光源をサンプルする場合， geometry 項がずいぶん変化してしまうためである．ある程度光源との距離があれば，面光源のたとえば，下部と上部をサンプルした場合には距離の差は，距離がほとんど無い場合に比較して安定した距離になっている．しかし極端な場合，light とサンプル面との境界では，距離がほぼ 0 から光源の高さの対角線まで急激に変化する．これがvariance の原因になる．つまり，光源をサンプルしている場合，光源に近いのに暗くてノイズが多くなる，ある意味，近すぎて計算が不安定になる，という状況が発生している．

図2

謝辞
Thanks to Matthias, Carsten, Daniel.

Veach 論文に関する私的補足(18) pp.264-267

p.264 Balance heuristic 1

式 9.8 は私の好きな Laplacian operator で使われる重みととても似ている．ここではheuristic と言っているが，ここで使われている条件は性質の良いことがわかっているものが多い．たとえば，Positibity と Partition of Unity である．これらの条件からはこの解の上限と下限が sample の range を越えないことを保証できる．誤解を恐れずに簡単化してしまえば，この operator は平均の拡張である．平均の重要な性質に，個々の値の上限と下限を越えることはない．たとえば 5 と10 の平均は必ず 5 と 10 の間にある．なにか簡単なことを難しく言っているように聞こえるかもしれないが，それぞれの値にここで言う重みをつけた場合にもこれは正しい．(式 9.8 の重みの条件はサンプルの Affine combinationを与えるから．)これはちょっと考える価値があるのではないだろうか? 複数の解空間を組み合わせることとして最初に出てくるものとしては自然な形であると思う．こういう自然な所もこの論文のいい所だと思う．

p.267 Balance heuristic 2

Figure 9.3 は blance heuristic estimator の Pseudo code である．



この疑似コードは大切そうに見えるので，ちょっと annotation をつけておこう．

• i は i番目のサンプリング技術を示す．k も同じ意味で使われているが，iteration が異なる場合に異なる添字として使われている．
  
• n は本文ではサンプリング技術数を示している．したがって，i = 1, 2, ..., n である．k も同様である．
  
• n_i は i番目のサンプリング技術でのサンプル数である．だから，2 行目の N は全サンプル数である．たとえば 1 番目の技術で5回サンプルし，2番目の技術で3回サンプルした場合，n_1 = 5, n_2 = 3, N = 8となる．
  
• p_i は i番目のサンプリング技術の密度関数である．
  
• X は サンプリング点である．
  

謝辞
いつものことですが，Leo に感謝します．