最近，趣味でちょっと書きはじめた project があります．PyQt と物理 tracerを勉強したいと思っています．今のところ，obj ファイルを読んで回転させるだけで，光源もシェーディングもなにもないです．しかし，少なくとも Gimbal lock もありません．ソースコードも公開していますが，今のところは価値がないですね．でも，ちょっとづつ面白いことをしてみたいと思います．
前回は sin と cos を使ったが，次の Euler の式を使うとこの関係はもっと簡潔になる．
に同じ T の操作を適用してみよう．
なんとこれも操作 T に関しての eigenfunction だった．
この関数は三角関数ベースなので，周波数解析の basis として良く使う．これまで見たように eigenvalue は操作の性質を簡潔に示すものだった．
入力 xと出力yがある場合，ある入力 x に操作 T を適用したものが出力yである．これが eigenvalue を持つ場合には以下のようになる．
つまり，入力が操作によって出力に transfer されている．どれだけ transferされているかが λ である．Signal processing の人達はこういうλを transfer function という．function ではないではないかというかもしれないが，この λ は通常入力 x の関数ではない．しかし，他のparameter の関数であることが通常なので，function となっている．たとえば，前式の λ は x の関数ではないが，ω の関数である．signal processing では通常 x は時間を示し，ω が周波数を示す．
したがって，signal processing での transfer function とは，線形代数での固有値問題なのである．いかがだろうか?
これが eigenvalue, eigenvector, eigenfunction and transfer function に関して私が最近理解したことです．この blog が多少の助けになれば幸いです．
謝辞
私はここに述べたようなことがしばらくわかりませんでした．そのために何度も同じようなつまらない質問をしたにもかかわらず，丁寧に解説して下さったAlexander B. に感謝します．
に同じ T の操作を適用してみよう．
なんとこれも操作 T に関しての eigenfunction だった．
この関数は三角関数ベースなので，周波数解析の basis として良く使う．これまで見たように eigenvalue は操作の性質を簡潔に示すものだった．
入力 xと出力yがある場合，ある入力 x に操作 T を適用したものが出力yである．これが eigenvalue を持つ場合には以下のようになる．
つまり，入力が操作によって出力に transfer されている．どれだけ transferされているかが λ である．Signal processing の人達はこういうλを transfer function という．function ではないではないかというかもしれないが，この λ は通常入力 x の関数ではない．しかし，他のparameter の関数であることが通常なので，function となっている．たとえば，前式の λ は x の関数ではないが，ω の関数である．signal processing では通常 x は時間を示し，ω が周波数を示す．
したがって，signal processing での transfer function とは，線形代数での固有値問題なのである．いかがだろうか?
これが eigenvalue, eigenvector, eigenfunction and transfer function に関して私が最近理解したことです．この blog が多少の助けになれば幸いです．
謝辞
私はここに述べたようなことがしばらくわかりませんでした．そのために何度も同じようなつまらない質問をしたにもかかわらず，丁寧に解説して下さったAlexander B. に感謝します．
Eigenvalue and transfer function
Hamming の本では信号処理の basis に三角関数が利用されることのメリットが繰り返し述べられる．この blog の主題からそれてしまうので，他の basis に対してどんなメリットがあるのかを述べることはせず，これは良い basis だと仮定して話を続けよう．Hamming の本の最初の例にそって三角関数の eigenvalue やeigenvector に関して例を見てどんなものか示そう．例とは
A sin x + B cos x
である．これに transform の操作を加え，その操作に関してどんな eigenvalueと eigenvector があるのかを見てみよう．
Transform T は T: x → x' + h のように，座標軸を shift するような操作とする．座標軸を shift する理由は，たとえば，信号処理ではどこから信号を測り始めたのかはそんなに重要ではないので，最初に測り始めた場所を変更するということがよくあるからだ．絶対的にどこが基準ということがあることは少ないので，こういう操作ができるようになっていると便利である．あるいは測り直したい場合に時間軸をリセットできればやはり便利である．問題は，こういう操作でも変化しない本質はどういうものか，である．三角関数の性質から，この変換を上式にほどこしてみる．
(図が切れてしまっているのでクリックして全体を御覧下さい．)
ここで，
である．A', B' は x に依存しない定数である．ここで大事なのは，この操作 T をほどこした結果，sin x と cos xの線形結合の形に関数が戻ってしまったことである．
つまり，この操作は
と似た形になっている．A', B'を eigenvalue の役割として，sin, cosがeigenvector の役割をしているのがわかる．このような視点はなかなかすごいと思うのだが，いかがだろうか．
以前私は友達が eigenfunction なんとかというのがわからなくて困っていたが，読者ももう大丈夫だろう．
Hamming の本では信号処理の basis に三角関数が利用されることのメリットが繰り返し述べられる．この blog の主題からそれてしまうので，他の basis に対してどんなメリットがあるのかを述べることはせず，これは良い basis だと仮定して話を続けよう．Hamming の本の最初の例にそって三角関数の eigenvalue やeigenvector に関して例を見てどんなものか示そう．例とは
A sin x + B cos x
である．これに transform の操作を加え，その操作に関してどんな eigenvalueと eigenvector があるのかを見てみよう．
Transform T は T: x → x' + h のように，座標軸を shift するような操作とする．座標軸を shift する理由は，たとえば，信号処理ではどこから信号を測り始めたのかはそんなに重要ではないので，最初に測り始めた場所を変更するということがよくあるからだ．絶対的にどこが基準ということがあることは少ないので，こういう操作ができるようになっていると便利である．あるいは測り直したい場合に時間軸をリセットできればやはり便利である．問題は，こういう操作でも変化しない本質はどういうものか，である．三角関数の性質から，この変換を上式にほどこしてみる．
(図が切れてしまっているのでクリックして全体を御覧下さい．)
ここで，
である．A', B' は x に依存しない定数である．ここで大事なのは，この操作 T をほどこした結果，sin x と cos xの線形結合の形に関数が戻ってしまったことである．
つまり，この操作は
と似た形になっている．A', B'を eigenvalue の役割として，sin, cosがeigenvector の役割をしているのがわかる．このような視点はなかなかすごいと思うのだが，いかがだろうか．
以前私は友達が eigenfunction なんとかというのがわからなくて困っていたが，読者ももう大丈夫だろう．