(2) 最大 determinant 問題

今回はなぜ最大 determinant 問題が興味を持たれたかについて私の考えを述べよう．しかし，これは直接の裏付けとなる資料がないのでまったくの間違いということもあることをお断わりしておく．

私がみつけたのは，偏微分方程式に関連した最大 determinant 問題である．偏微分方程式は興味あるかという話はあるが，はいと答えて問題はないだろう．これには熱や波に関しての式が含まれる．建物，計算機，車や船や飛行機の設計などなど，この式の応用は今日ではあまりに多岐に渡っている．

最大 determinant 問題に貢献した数学者の一人に，Hadamard がいる．彼の興味の一つは偏微分方程式であったとある．基本的な偏微分方程式，たとえば，振動の式は，

の形をしているが，

と書ける．(ちょっと余談になるがこう書くと $\frac{d^2 }{d x^2}$ というoperator が固有値$-\lambda$ を持っているように見えてくる．これを微分演算子がなくなるまで積分すると積分方程式になる．こうなると，積分方程式と線形方程式の関係がちょっと見えてくる．)

実際に Fredholm はこのような積分方程式をまず部分和の形で書いた．これは行列の形になっており，その極限，つまり行列の次元を無限次元にもっていくことで積分方程式を解くというアイデアを考えた．

このような形に積分方程式が書ける場合，それぞれの部分和に関しては線形方程式を解くことで求めることができる．当時はこれを Cramer の方法を使うことで解くという考えがあったようである．その際，1/det(A) の形が式中に生じる．行列 Aのサイズが大きくなった場合，この収束条件は最大値が 1 を越えるかどうかにかかわってくる．私は，ふとこの意味で数学者が最大値に興味を持つことがあったかもしれないと考えた．しかし，最大 determinant 問題がこのような動機で考えられたという文献はみつからなかった．

注: これでは Fredholm が積分方程式をどうやって行列の形にしたのか説明不足だとは思うが，詳細すぎるので，後で補足する．

また，Fredholm は Cramer の方法を直接使うことはなかったようだが，収束性には determinant の最大値が必要であったということは志賀浩司，固有値問題 30講, p.121 にある．

Hilbert はこの問題から determinant を除き，固有値を中心とした考え，Hilbert空間へと飛翔する．determinant は現在でも重要であるとは思うが，固有値の方が興味は尽きない．これもまた私の印象にすぎないことであるが，Hilbert空間が熟成する時に人々の興味は，determinant から固有値に移ったのかもしれない，とふと思った．

(1) 最大 determinant 問題

概要


特定の要素のみを使った matrix の determinat の最大値を求める問題が，Gilbert Strang の Introduction to Linear Algebra という本で紹介されている．これは計算機の問題として面白かったので紹介したい．


はじめに

「一日生きることが一歩生きることであれ．」という湯川秀樹の言葉が私の小学校にはあった．私の場合，この言葉のように少しでも毎日継続できることのみがものになってきたような気がする．たとえ5分でも毎日やるのは結構違う．最近，さる活動に参加しているために，日曜研究に使っている時間が減っているが，その活動も日曜研究も両方ともなんとか続けていきたい．

先日，最大 determinant 問題という問題を知ったが，これを解くまとまった時間がなかった．しかし，電車での通勤時間とエレベータの待ち時間などを使って今回の問題を解くことができた．(私の会社のエレベータは待ち時間が長く，私は通常本を読むことにしている．)細切れの時間を有効に使うことができるかどうかが継続することのポイントなのかもしれない．

最大 determinant 問題がなぜ数学者の興味を引いたのか，私はこの問題に取り組むまで知らなかった．確か Gilbert Strang の授業では，「determinant はかつて理論的に重要であった」，と過去形で述べられていた．しかし，なぜ一時期重要であり，現在はそうでもないのかという話まではなかったように記憶している．線形作用素として行列を考えた時，determinant が重要なのはそれが 0 であるかないかということである．なぜなら determinant が 0 かどうかは，そのシステムに解があるかどうかと関わっているからである．最大値はこれに比較したらさほど重要ではないように感じる．

determinant は行列を作用素として考えた際の性質としては拡大率である．この最大値がどうして重要なのだろうか．たとえば，最大値が 1 より小さいというのは何らかの収束性に関係して面白いかもしれないが，それはmatrixの積の場合に興味があることである．つまり M^k v のような場合であるが，しかしこの場合には固有値の方がずっと興味深い．なぜなら固有値がわかれば，M^k v=λ^k vの形になるからである．


幾何学的には最大 determinant は制限された座標値の中でどれだけの最大体積が得られるかになる．(これは Marc にも指摘された．) この意味は今後示されるアルゴリズムの中で一度利用してみることになる．とはいえ，この最大値にどんな興味があるのかはまだわかっていなかった．

次回はなぜ最大 determinant 問題が興味を持たれたかについてちょっと調べてみたので，それに関する私の考えを述べよう．

ある日，人類が賢くなった日,

ある日，人類が地震などの災害を予知できるようになり，さらにそのエネルギーを詩と音楽と数学の学校の運営にのみ利用するようになった日，人類はちょっと賢くなったと言えると思う．
--- Hitoshi

そのエネルギーを世界の破壊に使うことがなければ，(賢くなったに賛成しよう．)
--- Leo

2011-03-13 Potsdamerplatz, Berlin にて．