行列の乗算の転置(transpose) の謎 --何故 (AB)^T = B^T A^T か

ある水曜日のパーティにて次のような会話があった．

「．．というパーティででその女性に出会ったんだ．彼女は仕事を探していて．．」
「それでその彼女はどんなタイプ? かわいい系? Positive? 背は高いの?」
「Positive だね」
「Positive な女性はいいねえ．」

同パーティの他の会話:

「．．という条件でこの行列がでてきた．画像の場合には．．」
「それでその行列はどんなタイプ? Symmetric? Positive definite? どの位のサイズ?」
「Positive definite」
「Positive definite 行列はいいねえ．」

このように私の友人には正値二次形式 (positive definite quadratic form)の行列が好きな人が幾人もいる．この正値二次形式の transpose を考えるとちょっと面白いことがあるのだが，それは別の機会に話すことができればと思う．今回は transpose についての話をしよう．

私の知人が「Matrix の乗算の転置(transpose) の謎--何故 (AB)^T = B^T か」 という話を書いている．ところで，blog には数式を書くのが面倒という問題がある．「Matrix の乗算の転置(transpose) の謎」をここにコピーする許可をもらったのだが，画像と文字の組合せにするのも面倒であるし，画像として置くのも野暮ったいので，リンクを張ることにする． 

以下はその概要である．

行列の乗算の転置は

Eq{1}

である．もちろん，これが定義と言われればそれまでだが，ここではなぜこうなのかを考察する．まずは行列の特殊形である Vector を考えよう．行列よりも Vector の方が単純だからである．Vector の内積の転置から


Eq{2}

が自然な定義と見えてくることを示す．これは Farin と Hansford の本の説明がわかりやすく，それに多少の補足を加えた[1]．

また，行列を変換という視点から見直せば，行列の乗算は内積を含むことがわかる．この話は杉原の本に詳しいのでおすすめである[2]．

これらと Vector が Matrix の特殊形であることから，Eq 1 の理由を理解することができるだろう．



参考文献

[1] Gerald Farin and Dianne Hansford, Practical Linear Algebra; A Geometry Toolbox, A K Peters, Ltd., 2005, ISBN: 1-56881-234-5

[2] 杉原厚吉, グラフィックスの数理，共立出版, 1995, ISBN: 4-320-02663-2 C3341