今日は大宮開成中学校で出題された長方形と台形の重なりの問題について見てみましょう。
例題）
図のように長方形ABCDと台形PQRSが頂点Cと頂点Qが重なるように置かれています。その状態から長方形ABCDが矢印の方向に秒速１㎝の速さで矢印の方向に進み、台形PQRSに重なっていきます。
①動き始めてから１０秒後の重なった部分の面積は何㎝²ですか。
②重なった部分の面積が、台形PQRSの面積の半分になるのは、動き始めてから何秒後と何秒後ですか。
解答）
①４２㎝²
②１１秒後、３３秒後
解説）
①
台形の上底の長さを求めておきましょう。下図を見てください。台形の上底は４㎝です。
１０秒後の位置は下の図のようになります。
直角二等辺三角形はたてと横の長さが同じです。その性質がこの問題を解くのには大切です。
ピンクの台形が求める答えです。
（4＋１０）×６÷２＝４２ になります。
②
台形ＰQRSの面積＝（4＋２０）×８÷２＝９６
台形ＰQRSの半分は、96÷２＝４８
重なった部分は台形で、面積が４８になればいいことがわかります。
下図を見てください。ピンクの台形の面積が４８になるときが答えになります。
（上底＋下底）×6÷２＝４８
上底＋下底＝４８×２÷６＝１６
つまり、上底＋下底＝１６になる場面です。
上の図から、２＋X＋８＋X＝１６
X＋X＝１６－１０＝６
X＝３
よって、8＋３＝１１→11秒後（秒速1㎝だから）
また、同じ図形がもう一度できます。
長方形の一番後ろの辺ABによって台形が作られるときです（下図参照）
上の図から、長方形の辺ABは、初めの位置から２４＋９＝３３㎝動いたことになります。
33㎝→33秒ということになります。
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