　日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２０１１年予選の問題

今回は、日本ジュニア数学オリンピック２０１１年予選第４問を取り上げ、解説します。

問題文の図がかなり不正確な図になっています。

いくら何でもちょっとねぇという感じがしますし、こんな図ならないほうがいいとしか思えませんね。

問題自体はいい問題で、中学受験生が取り組んでおくべき問題です。

さて、問題を解いてみましょう。

直線ＭＮは辺ＢＣと平行になります。
このことは、例えば、２点ＣＤを直線で結んでピラミッド相似に着目すればすぐにわかることなので、ここでは、ぐちゃぐちゃと説明はしません（中学生なら、中点連結定理で説明できます）。
（解法１）
図のように、台形ＤＢＣＥを「等積変形」して平行四辺形ＤＢＦＧを作り出します（三角形ＣＮＦを点Ｎを中心に１８０度回転させます）。

　　
和差算（平行四辺形ＤＭＮＧ（ＭＢＦＮ）と三角形ＣＮＦ（ＥＮＧ）の和が２、差が１と考えられますね）により、三角形ＣＮＦ（ＥＮＧ）の面積は（２－１）/２＝１/２となります。
また、三角形ＤＮＧの面積は平行四辺形ＤＭＮＧの面積の半分となるから、（１＋１/２）×１/２＝３/４となり、三角形ＤＮＥの面積は３/４－１/２＝１/４となります。
三角形ＥＮＧと三角形ＤＮＥは高さが等しいから、底辺の比は面積の比と等しくなり、ＧＥ：ＤＥ＝１/２：１/４＝２：１となり、結局、ＤＥ：ＢＣ＝１：（１＋２＋２）＝１：５となります。
三角形ＡＤＥと三角形ＡＢＣは相似（ピラミッド相似）で、相似比が１：５だから、面積比は（１×１）：（５×５）＝１：２５となります。
したがって、三角形ＡＤＥの面積は（１＋２）×１/（２５－１）＝１/８となります。
（解法２）
消去算を利用して解きます。
図のようにＢＤと平行な補助線ＥＨを引き、ＭＮと交わった点をＩとします。

　　
三角形ＥＩＮと三角形ＥＨＣのピラミッド相似（相似比はＥＮ：EＣ＝１：２）に着目すると、その面積比は（１×１）：（２×２）＝１：４＝①：④となります。
平行四辺形ＤＭＩＥ（ＭＢＨＩ）の面積を[１]とすると、
　[１]＋①＝１
　[１]＋③＝２
となるから、②＝１となり、①＝１/２、[１]＝１/２となります。
高さが等しい平行四辺形（「上底０の三角形」も含みます）の面積比が上底＋下底の比と一致するから、ＤＥ×２：ＨＣ＝[２]：④＝１：２となるから、ＤＥ：ＢＣ＝１/２：（１/２＋２）＝１：５となります（以下略）。

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