　日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２００９年予選の問題

今回は、日本ジュニア数学オリンピック２００９年予選第７問を取り上げ、解説します。

算数オリンピックやジュニア算数オリンピックのファイナルに参加する子は解いてみるとよいでしょう。

直線が通る２点で分類して数え上げようとしてももれなくダブりなく数え上げることは困難でしょう。

当ブログで取り上げた数学オリンピックやジュニア数学オリンピックの問題などで何度も利用している方法（あえてダブらせて後で調整する方法）で解きます。

もとの小立方体の頂点は３×３×３＝２７個あります。
異なる２７個の頂点から異なる２個の頂点を選ぶ（選び方は（２７×２６）/（２×１）＝３５１通り）と直線が１本できますが、３個以上の頂点を通る直線に関しては重複して数えてしまっている（わざとですが・・・）ので、それを取り除く必要があります。
４個以上の頂点を通る直線はありませんね。
３個の頂点を通る直線は３回（例えば、図のＡ、Ｂ、Ｃを通る直線であれば、２点Ａ、Ｂを選んだとき、２点Ｂ、Ｃを選んだとき、２点Ｃ、Ａを選んだときの３回（実際には、３点Ａ、Ｂ、Ｃのうちどの１点を選んでいないか考えればよいでしょう））カウントしているので、２回分取り除く必要があります。

　　
３個の頂点を通る直線は、以下の場合が考えられます。
（あ）大きな立方体の辺と平行な直線
（い）大きな立方体の面の対角線と平行な直線
（う）大きな立方体の対角線
（あ）について
大きな立方体の高さ方向で考えると、３×３＝９本あります（図の青色の直線が右の面、真ん中の面、左の面にありますね）。
大きな立方体の縦方向、横方向も条件的に同じだから、全部で９×３＝２７本あります（条件の対等性を利用して作業を減らします）。
（い）について
大きな立方体の水平面（「上下方向」）で考えると、２×３＝６本あります（図の赤色の直線が上の面、真ん中の面、下の面にありますね）。
大きな立方体の「左右方向」、「前後方向」も条件的に同じだから、全部で６×３＝１８本あります。
（う）について
大きな立方体の８個の頂点のうち最も離れた２個の頂点をペアにすると立方体の対角線ができるから、全部で４本あります。
したがって、条件を満たす直線は全部で
　　３５１－（２７＋１８＋４）×２
　＝２５３本
あります。

なお、甲陽学院中学校で、この２７個の頂点のうち３個選んで三角形を作るとき、正三角形が何個できるかという問題と４個選んで四角形を作るとき、正方形が何個できるかという問題が出されている（２００３年算数１日目第５問）ので、ぜひ解いてみましょう。

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