図のように、一辺の長さが１の立方体Ｖ1と、底面がＡＢＣＤと合同な正方形で、体積がＶ2の１/３倍である正四角錐Ｖ2をＡ、Ｂ、Ｉ、Ｊ、Ｃ、Ｄが同じ平面上にあるようにおく。
このとき、次の各問いに答えよ。
（１）略
３点Ｅ、Ｈ、Ｊを含む平面αでこの立体を切断した。
（２）略
（３）平面αでＶ2は２つの立体に切断される。このうち体積の小さい立体の体積を求めよ。
（１）と（２）は、ルートが絡みますし、メインの（３）を解くにあたって不要なので省略しています。
メインの（３）ですが、最難関中学校の受験生であれば、解くのに３０秒もかかりません。
実際、２０年ぐらい前に私が作成した灘中対策演習問題の中に、正四角すいを２つ並べて切断する問題があります（下の問題）が、灘中に合格した教え子の大半は短時間で解けています。
立体が２つあるというのは「はったり」にすぎず、立体１つを切断する問題にすぎませんからね。
因みに、正四面体を２つ並べて切断する問題が灘高校の入試で出されていますが、この問題も最難関中学校の受験生であれば、解けないといけません。
さて、西大和の問題を解いていきましょう。
線対称性に着目して、３点Ｋ、Ｌ、Ｍ（点Ｌは辺ＥＨの真ん中の点、点Ｍは辺ＩＪの真ん中の点とします）を通る平面を抜き出して考えます。
辺ＢＣの真ん中の点をＮ、３点Ｅ、Ｈ、Ｊを通る平面と直線ＫＮが交わった点をＯとします。
抜き出した面にある三角形ＫＮＭを底面として考えます（いわゆる中底面）。
辺ＢＣの長さを５（これが底面に垂直な高さになります）とし、それぞれの高さを図に書き込みます（図の（ ）内の数字）。
点Ｏのところの高さは、三角形ＯＮＭと三角形ＯＫＬの相似（相似比はＮＭ：ＫＬ＝２：３）に着目すればすぐにわかります。
Ｖの体積：Ｖのうち平面αより上の部分の体積
＝｛５×（０＋５＋５）/３｝：｛３×（０＋３＋５）/３｝ （体積の比＝底面積の比×高さ（の平均）の比）
＝２５：１２
となるから、求める体積は
１×１×１×１/３×１２/２５
＝４/２５
となります。
