今回は、日本ジュニア数学オリンピック２００５年第１０問を取り上げ解説します。
算数オリンピックやジュニア算数オリンピックにチャレンジする子はもとより、最難関中学校の受験生も当然解けるはずの問題です。
等しい角度の条件に着目して、ＰＢ：ＰＣが２：２（＝１：１）であれば、三角形ＡＢＣが二等辺三角形となり、対称性が利用できるのになぁと感じることがスタートラインです。
ＰＣを２：１に分ける点をＤとすると、三角形ＡＢＤは二等辺三角形となります。
ＰＲとＡＤが交わった点をＳとすると、対称性より、ＡＳ：ＳＤ＝ＡＱ：ＱＢ＝４：３となります。
あとは、いわゆる等高図形の面積比に関する知識を利用するだけです。
三角形ＡＰＳの面積を⑧とすると、三角形ＤＳＰの面積は⑧×ＳＤ/ＡＳ＝⑥となり、三角形ＣＳＤの面積は⑥×ＣＤ/ＰＤ＝③となります。
したがって、
ＡＲ：ＲＣ
＝三角形ＡＰＳの面積：三角形ＣＳＰの面積
＝⑧：（⑥＋③）
＝８：９
となります。
中学生であれば、最後の面積比の処理のところでメネラウスの定理を使うと思いますが、この問題でメネラウスの定理を使っても楽になりません。
