今回は、日本ジュニア数学オリンピック２００５年第７問を取り上げ解説します。
中学入試にそのまま出されても何の不思議もない問題です。
実際、この問題の一部が南山中学校女子部の入試で出されています（今から３０年ぐらいの神戸女学院中学部の入試でも出されています）。
２００５を素因数分解すると５×４０１となりますね。
マス目の中に書き込む２００５の個数で場合分けして解きます。
２００５が４個以上あると、少なくとも１列に２００５が２個以上並び、条件を満たしませんね（当たり前のことなので、ここまで言う必要はないと思いますが・・・）
（あ）２００５が３個のとき
残り６個の数は１に確定するから、２００５のマス目だけを決めればいいですね。
上から１列目は３通りあり、そのそれぞれに対して、上から２列目は２通りあり、そのそれぞれに対して、上から３列目は１通りあるから、全部で３×２×１＝６通りあります。
（い）２００５が２個のとき
２００５を書き込んだ２列（縦）について考えると、同じ列（横）に１が２個現れる（☆のところに２００５を書き込んだ場合（１番左の図）の水色のところ）から、条件を満たすためには、この横の列に２００５を使う必要があり、２００５が３個となってしまいます。
したがって、この場合はありえません。
（う）２００５が１個のとき
残り８個の数は１が４個（２００５を書き込んだ列（縦と横）の残り２数）、５と４０１が２個ずつになります。
２００５を書き込む場所の決め方は９通りあります。
２００５をどこに書き込んでも条件的に同じ（一応図形的には異なるものなので、条件の対等性から絞った３パターン（左から２番目から４番目の図）だけ検討してみます。☆のところに２００５を書き込んだ場合、黄緑色のところは１に確定し、ピンク色の４マスをそのままくっつけて２×２のマスと考えても問題ないことから、すべて条件的に同じであることがわかります）だから、左下隅に書き込んだ場合を考えます（条件の対等性を利用して作業を減らします）。
上から１列目の２か所に５と４０１を書き込むことになりますが、この書き込み方は２通りあり、残りのマス目の書き込み方は自動的に確定します。
したがって、この場合は９×２＝１８通りあります。
（え）２００５が０個のとき
各列に１、５、４０１を１個ずつ入れることになります。
これが先ほど言及した南山女子の問題と同じ問題になります。
上から１列目の数字の書き込み方は３×２×１＝６通りあります。
いずれの場合も条件的に同じだから、左から小さい順に数字が並んでいる場合を考えて、６倍すればいいですね（条件の対等性を利用して作業を減らします）。
上から２列目の１の位置は、５、４０１の真下の２通りあります。
いずれの場合も条件的に同じだから、１が５の真下にある場合を考え、２倍すればいいですね。
ここで、黄色のマス目（１番右の図）に４０１は入らないので、５に確定し、上から２行目が確定します。
その結果、上から３行目も自動的に確定します。
したがって、この場合は６×２＝１２通りあります。
（あ）～（え）より、数字の書き込み方は
６＋１８＋１２
＝３６通り
あります。
最難関中学校の受験生や算数オリンピックにチャレンジする人は下の京大問題を解いてみるとよいでしょう。
