図のように、ＡＢ＝９、∠ＡＢＣ＝２２．５°、∠ＡＣＢ＝４５°である△ＡＢＣがあります。点Ａから辺ＢＣに垂線ＡＨを引き、∠ＣＡＨの二等分線と点Ｃを通り直線ＡＨに平行な直線との交点をＤとします。また、直線ＢＤと直線ＡＨの交点をＥとしたとき、ＢＥ＝９となりました。
（１）∠ＡＤＥの大きさを求めなさい。
（２）省略
（３）△ＡＢＤの面積を求めなさい。
（４）△ＡＢＣの面積を求めなさい。
∠というのは角のことで、△というのは三角形のことです。
（２）はルートが絡むので省略しています。
メインの（４）の問題を解くのに必要ありませんしね。
三角形ＡＢＣだけが与えられていても解けます（実際、算数オリンピックでそういう問題が出されています（算数オリンピック２０１３年ファイナル第５問））が、一応、出題者の誘導に従って解いてみます。
因みに、２０１３年の算オリの問題と同様の問題は中学入試でも誘導付きで出されています。
この東海中学校の問題でも一応誘導に従う解法を紹介していますが、もっとスマートに解ける解法も紹介しています。
いずれにせよ、２２．５度と４５度を見て直角二等辺三角形をどうやって作出するかがポイントになります。
さて、四天王寺高校の問題を解いてみましょう。
（１）
○は２２．５度ですね。
二等辺三角形ＡＢＥが線対称の軸ＢＨで二等分されていることから、角ＡＢＤの大きさは２２．５×２＝４５度となります。
また、角ＤＡＢの大きさは１８０－９０＝９０度となり、角ＡＤＥの大きさは１８０－４５－９０＝４５度となります。
（３）
三角形ＡＢＤは、等しい長さが９の直角二等辺三角形だから、その面積は９×９×１/２＝８１/２となります。
（４）
三角形ＡＢＤの面積
＝三角形ＡＢＥの面積＋三角形ＡＥＤの面積
＝三角形ＡＢＥの面積＋三角形ＡＥＣの面積（ＡＥとＣＤが平行であることに着目して、等積変形を利用しました。）
＝四角形ＡＢＥＣの面積
＝三角形ＡＢＣの面積×２（線対称性を利用しました。）
だから、三角形ＡＢＣの面積は８１/２×１/２＝８１/４となります。
