自然数a、b、cは、a2＋b2＝c2を満たしている。このとき、以下の問いに答えよ。
（１）省略
（２）省略
（３）c＝４５のときのa、bの値を求めよ。ただし、a≦bとする。
（４）a＝４５のときのb、cの値は、
（b,c）＝（１０１２，１０１３）、（３３６，３３９）、（２００，２０５）、（１０８，１１７）、（６０，７５）
の他に２組ある。その２組をすべて求めよ。
（注）
a2→a×a（他も同様）
自然数→１以上の整数
ウォーミングアップの問題にすぎない（１）とヒントに過ぎない（２）の問題を省略しています。
（３）
この問題は先日取り上げた西大和学園中学校の問題の類題です。
一般に、平方数を３で割った余りは０（３の倍数を２回かけあわせた場合）か１（３で割り切れない数を２回かけあわせた場合）となります（面積図を利用すればすぐに確認できます）。
４５×４５（＝２０２５）は３の倍数だから、aもbも３の倍数となります。
a＝○×３、b＝△×３とします。
○×３×○×３＋△×３×△×３＝４５×４５
○×○＋△×△＝１５×１５（上の式を３×３で割りました。）
さらに、上と同様の作業を行うと、
□×□＋☆×☆＝２５（○＝□×３、△＝☆×３）
となります。
２５は３で割ると１余る数だから、□と☆の一方は３の倍数となり、他方は３で割り切れない数となります。
２５＝５×５だから、一方は３となり、他方は、５×５－３×３＝１６＝４×４より、４となります（まぁ、辺の比が３：４：５の直角三角形をイメージすればこんなことをするまでもありませんが・・・）。
したがって、a＝３×３×３＝２７となり、b＝４×３×３＝３６となります。
（４）
c＞bとなりますね。
c×c－b×b＝４５×４５
(c＋b）×（c－b）＝３×３×３×３×５×５ （「和と差の積＝２乗の差」（関西学院中学部１９９６年算数２日目第１問（４）、南山中学校女子部２０２４年算数第１問（４）などの解答・解説を参照）を利用）
c＋bとc－b（c＋bが大、c－bが小）は４５×４５の約数のペアで、４５×４５（＝２０２５）の約数は、５×３＝１５個あり、約数の「ペア」（同じ数も含みます）は８組あります。
このうち条件を満たすもの（同じ数の「ペア」以外）は７組で、このうち５組が問題文に与えられています。
問題文に与えられた組のc－bは、それぞれ１、３、５、９、１５だから、（c－b,c＋b）＝（２５，８１）、（２７，７５）の組だけ考えればいいですね。
和差算を解くと、(b,c）＝（２８，５３）、（２４，５１）となります。
なお、与えられた値が偶数の場合、偶奇性を考慮することで調べる場合を減らすことができます（下の問題を参照）が、この問題の場合、偶奇性を利用するまでもないので、偶奇性を考慮していません。
