ｎは４以上の整数であり、ｘ、ｙ、ｚはすべて正の整数であるとする。
（１）省略
（２）空間の点（ｘ,ｙ,ｚ）で、ｘ＋ｙ＋ｚ＜ｎをみたすものの個数をｎを用いて表せ。
（３）空間の点（ｘ,ｙ,ｚ）で、ｘ＋ｙ＋ｚ＝３ｎかつｘ＜ｙ＜ｚをみたすものの個数をｎを用いて表せ。
（注）
正の→０より大きい
空間の点→小学生は無視（空間の点である必要はないからです）して。単に、（ｘ,ｙ,ｚ）の組と考えればよいでしょう。
３ｎ→３×ｎ
東大で同じような問題が過去に出されています。
また、中学入試でも同じような問題が出されています。
さて、東京科学大の問題を解いてみましょう。
（１）は（２）以降の問題のための誘導なのでしょうが、小学生には厳しいですし、誘導が必要な解法を採用しないので、省略しています。
（２）
ｗ＋ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｎ（ｗ、ｘ、ｙ、ｚは１以上の整数）となる場合を考えればいいですね。
小学生にとっては、問題文の表記が分かりにくいですが、「ｗ、ｘ、ｙ、ｚの４人に合計ｎ個のボールを配ります。ただし、４人には少なくとも１個のボールを配るものとします。」という問題を考えるだけの話です。
ｗ、ｘ、ｙ、ｚにまず○を１個ずつ配り、残りの（ｎ－４）個のボールの配り方を考えます（ｎ＝４の場合は１通りの「配り方」がありますね）。
（ｎ－４）個の○と３個の/の並べ方を考えればよいから、求める個数は（ｎ－１）×（ｎ－２）×（ｎ－３）/（３×２×１）＝（ｎ－１）（ｎ－２）（ｎ－３）/６個となります。
なお、ｎ個のボールを並べ、（ｎ－１）個の、ボールとボールの間から３個を選んで/を置くと考えてもよいでしょう。
（３）
とりあえずｘとｙとｚの大小関係を無視して考えます。
（２）と同様に考えると、ｘ＋ｙ＋ｚ＝３ｎ（ｘ、ｙ、ｚは１以上の整数）となるのは（３ｎ－１）×（３ｎ－２）/（２×１）個あります。
このうち（あ）ｘとｙとｚがすべて同じものと（い）ｘとｙとｚのうち２つだけが同じものを取り除くと、ｘとｙとｚがすべて異なるものだけが残りますね。
ここで、ｘとｙとｚの大小関係を考慮すると、３×２×１＝６回カウントされているから、６で割ることにより答えが得られます。
（あ）について
（ｘ,ｙ,ｚ）＝（ｎ,ｎ,ｎ）の１個だけあります。
（い）について
ｎの偶奇に影響されるので、ｎの偶奇で場合分けして考えます。
具体例（例えば、ｘ＋ｙ＋ｚ＝６と９の場合を考えると、「最後」に２個余るか１個余るかの違いが出てきますね）を考えれば偶奇による場合分けが必要なことがすぐにわかるはずです（因みに、上の東大の問題は、この場合分けが生じないように６ｍ（６の倍数）としてくれていますね）。
（Ａ）ｎが奇数のとき
ｚだけ異なる場合は、（ｘ,ｙ,ｚ）＝（１，１、３ｎ－２）、（２，２、３ｎ－４）、・・・、（（３ｎ－１）/２，（３ｎ－１）/２，１）の（３ｎ－１）/２通りのうち（ｎ,ｎ,ｎ）の１通りを取り除いた（３ｎ－３）/２通りがあり、ｘ、ｙだけ異なる場合も同様に（３ｎ－３）/２通りあります（条件の対等性を利用して作業を減らす！）。
結局、この場合は（３ｎ－３）/２×３＝（９ｎ－９）/３個あります。
（Ａ）ｎが偶数のとき
ｚだけ異なる場合は、（ｘ,ｙ,ｚ）＝（１，１、３ｎ－２）、（２，２、３ｎ－４）、・・・、（（３ｎ－２）/２，（３ｎ－２）/２，２）の（３ｎ－２）/２通りのうち（ｎ,ｎ,ｎ）の１通りを取り除いた（３ｎ－４）/２通りがあり、ｘ、ｙだけ異なる場合も同様に（３ｎ－３）/２通りあります。 ←条件の対等性を利用して作業を減らす！
結局、この場合は（３ｎ－４）/２×３＝（９ｎ－１２）/２個あります。
したがって、求める個数は、ｎが奇数のとき、
｛（３ｎ－１）×（３ｎ－２）/２－１－（９ｎ－９）/２｝×１/６ （負の数の積の計算などが小学生にとっては厄介ですが、面積図と「ひきすぎ⇒たす」で処理することができます（詳細については割愛）。）
＝（９ｎ2－１８ｎ＋９）/１２
＝（３ｎ2－６ｎ＋３）/４
となり、ｎが偶数のとき、
｛（３ｎ－１）×（３ｎ－２）/２－１－（９ｎ－１２）/２｝×１/６
＝（９ｎ2－１８ｎ＋１２）/１２
＝（３ｎ2－６ｎ＋４）/４
となります。
