日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２０１５年予選の問題
今回は、日本ジュニア数学オリンピック２０１５年予選第６問を取り上げ、解説します。
今回取り上げる問題は、中学入試、高校入試、大学入試で昔からよく出されている問題です。
赤、青、白のボールをそれぞれＲ、Ｂ、Ｗと表記します。
ＲとＢは条件的に同じですね。
Ｒ→Ｂ Ｂ→Ｒ Ｗ→Ｒ
→Ｗ →Ｗ →Ｂ
逆から考えると、
Ｒの個数＝１つ前のＢの個数＋１つ前のＷの個数
Ｂの個数＝１つ前のＲの個数＋１つ前のＷの個数
Ｗの個数＝１つ前のＲの個数＋１つ前のＢの個数（ただし、奇数番目のＷの個数は０個とします。）
となることがわかるので、機械的に処理できます。
まず、最初がＲの場合について考えると、以下の表のようになりますが、最初がＢの場合も同様になるので、実際は２倍だけありますね（条件の対等性の利用）。
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７
Ｒ １ ０ ２ １ ５ ４ １４
Ｂ ０ １ １ ２ ４ ５ １３
Ｗ ０ １ ０ ３ ０ ９ ０
計 １ ２ ３ ６ ９ １８ ２７
奇数番目の合計だけを見ていくと、１、３、９、２７、・・・というように、最初の数が１で公比が３の等比数列となっていることが分かりますね（偶数番目の合計だけを見ても同様の規則性が読み取れますね）。
２０１５は（２０１５＋１）/２＝１００８番目の奇数だから、求める場合は全部で１×３1007×２＝２・３1007通りとなります。
小学生ならこれで十分ですし、答えだけ求めればよいJJMOの予選でも十分ですが、一応、等比数列となることを確認しておきます。
（ｎ×２－１）個の箱が並んでいる場合の条件を満たす並べ方をＡ（ｎ）、そのうち最初がＲ、Ｂの場合をそれぞれＲ（ｎ）、Ｂ（ｎ）とします。
Ａ（ｎ）＝Ｒ（ｎ）＋Ｂ（ｎ）となります（条件の対等性を用いて、Ａ（ｎ）＝Ｒ（ｎ）×２とすることもできますが、今回は用いずに処理します）。
Ｒ（１）＝Ｂ（１）＝１で、Ａ（１）＝Ｒ（１）＋Ｂ（１）＝２ですね。
最初の３個について書き出すと次のようになります。
ＲＢＲ
ＷＲ
Ｂ
ＢＲＢ
ＷＲ
Ｂ
このことから、
Ａ（ｎ＋１）
＝Ｒ（ｎ＋１）＋Ｂ（ｎ＋１）
＝｛Ｒ（ｎ）×２＋Ｂ（ｎ）｝＋｛Ｂ（ｎ）×２＋Ｒ（ｎ）｝
＝Ｒ（ｎ）×３＋Ｂ（ｎ）×３
＝Ａ（ｎ）×３
となり、確かに公比３の等比数列となりますね。
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