今回は、日本ジュニア数学オリンピック(JJMO)２０２６年予選第２問を取り上げます。
a（a＋b）（a＋b＋c）（a＋b＋c＋d）というのは、a×（a＋b）×（a＋b＋c）×（a＋b＋c＋d）ということです。
そのまま中学入試に出されても何の不思議もない問題です。
a＋b＋c＋d＝１＋２＋３＋４＝１０（＝２×５）と気づくことがスタートラインです。
a＋b＋c＋d以外に５の倍数が必要となります。
aは５の倍数となりえないから、a+bかa+b+cが５の倍数となりますが、a＋b＋c＝１０－dが５の倍数となることはないから、a＋bが５の倍数となります。
そこで、a＋bが５の倍数（実際には５）となる組合せを書き出して調べつくします。
a＋bは１＋４または２＋３となり、下の（あ）、（い）の場合が考えられます。
（あ）Ｐ＝a×（１＋４）×（５＋c）×１０（aは１か４、cは２か３）のとき
なるべく大きいほうがよいから、a＝４、c＝３で試すと、Ｐ＝４×５×８×１０＝４０×４０となり、確かに平方数となります。
この場合の他の組合せをチェックする必要はありませんね。
（い）Ｐ＝a×（２＋３）×（５＋c）×１０（aは２か３、cは１か４）のとき
１０が偶数で、２＋３は奇数だから、Ｐが平方数となるためには、aか５＋cの少なくとも一方が偶数でないといけません。
この場合の組合せとしてありうるのは、（a,c）＝（２，１）、（２，４）、（３，１）となります。
（a,c）＝（２，４）で試すと、Ｐ＝２×５×９×１０＝３０×３０となり、４０×４０より小さくなります。
当然（a,c）＝（２，１）の場合も４０×４０より小さくなりますね。
また、（a,c）＝（３，１）で試すと、Ｐ＝３×５×６×１０＝３０×３０となり、４０×４０より小さくなります。
（あ）、（い）より、答えは４０×４０＝１６００となります。
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