今回は２０２６年のJMOの予選第１問を取り上げます。
「正の」というのは０より大きいということです。
a20は、aを２０個かけ合わせた数（aの２０乗）です（他も同様）。
昨年の京大入試の問題と同じような問題ですね。
指数の大きいa、cについて上限チェックを行います。
２の１０乗＝１０２４を利用すると、２の２０乗は１０２４×１０２４となり、明らかに２０２６を超えてしまうから、a＝１と確定します。
b2＋c6＝２０２６－１＝２０２５
４の６乗＝２の１２乗＝１０２４×４が明らかに２０２５を超えてしまうから、cは３以下となります。
cの候補が高々３つしかないので、調べつくしても簡単に解けますが、少しだけ頭を使って解きます。
一般に、平方数を３で割った余りは０か１となります（面積図を考えれば、０×０、１×１、２×２を３で割った余りを考えれば足ります（上の京都大学の入試問題の解答・解説を参照）。
また、平方数を３乗したものについても同様です。
２０２５は３で割り切れる数だから、条件を満たすのは、cもbも３の倍数のときとなり、c＝３と確定します。
このとき、
２０２５－３の６乗
＝４５×４５－３の６乗 （２０２５＝４５×４５となることを利用しました。）
＝３の４乗×５×５－３の６乗
＝３の４乗×（２５－９）
＝３の４乗×１６
＝（９×４）の２乗
となり、b＝９×４＝３６となります。
上の解説では、３の平方剰余・非剰余に着目して、cを確定させましたが、２０２５（＝４５×４５）の１つ手前の平方数は２０２５－（４４＋４５）だから、２０２５から１の６乗や２の６乗を引いたところで平方数となるはずがないということは一瞬でわかります。
そのことに着目しても手間は変わりません。
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