以下の問いに答えよ。
（１）ｎを整数とするとき、ｎ2を８で割った余りは０、１、４のいずれかであることを示せ。
（２）２m＝ｎ2＋３をみたす０以上の整数の組（ｍ,ｎ）をすべて求めよ。
（注）
ｎ2→ｎ×ｎ
２m→２をｍ個かけあわせた数
灘中などでよく出されるタイプの問題です（灘中学校２０１９年算数１日目第４問、灘中学校２０２１年算数１日目第５問など）。
ご丁寧に８の平方剰余・非剰余を考えなさいというヒントまでついているので、差がつかないような気がしますが・・・
中学受験をしていない中学生でも、文字式の利用を習っていれば（１）を機械的に解くことができますからね。
（１）があれば、（２）は落としようがないですしね。
〇は整数です。〇×〇を８で割った余りは０か１か４です。
このとき、２×・・・×２（２を□個かけた数）＝〇×〇＋３となる□と〇を求めなさい。
こういう問題にして、小４の教え子に解いてもらったら、すぐに□＝２、〇＝１という答えを求められましたからね。
□がもっと大きくなることはないのとこちらが言うと、ちょっと（３０秒ぐらいかな）考えて、８で割り切れちゃうからと答えてくれました。
なお、問題文に「すべて」と書いてあるのははったりで、むしろ答えが１つかもしれないと警戒すべきでしょうね（下の問題を参照）。
数学では何も書いていなくもすべて求めるのが当たり前で、わざわざ「すべて」と書くのは、答えが複数あるから気を付けてねという親切な出題者か・・・（あえて言いません）。
詳しくは、下記ページで。
九州大学２０２５年前期理系数学第３問・文系数学第３問（問題）
九州大学２０２５年前期理系数学第３問・文系数学第３問（解答・解説）
