下の図は、各面が正方形と正三角形だけでできた立体の展開図です。この立体の２つの頂点を結ぶ直線は全部で何本引けますか。ただし、立体の辺になっている直線は数えません。
展開図を組み立てた図形がどういうものかは、図をかくまでもなくすぐにわかるはずです。
この問題を解く前に、正八角形の対角線の本数を求める問題を考えてみます。
（８－３）×８×１/２
＝２０本
とする解法（1つの頂点から出る対角線の本数（自分と隣以外の頂点に引く直線の本数）×頂点の個数を重複度で割るという解法）以外に、
（８×７）/（２×１）－８
＝２０本
とする解法（すべての頂点から２個の頂点を選んで直線で結ぶと、対角線か辺になることに着眼し、２個の頂点の選び方の総数から、辺の数を取り除くという解法）があります。
普通部の問題の解説では、後者の解法を利用して解いています。
その際、立方体の頂点の個数、辺の本数を利用すれば簡単に処理できます。
余裕のある人は、正多面体の対角線の本数について考えてみるとよいでしょう（例えば、正三角形２０個からなる正二十面体（面は２０個、頂点は３×２０/５＝１２個、辺は３×２０/２＝３０本）の対角線の本数は、前者の解法では、（１２－６）×１２×１/２＝３６本となり、後者の解法では、（１２×１１）/（２×１）－３０＝３６本となります）。
詳しくは、下記ページで。
