今回は、日本数学オリンピック２０１２年予選第４問を取り上げ、解説します。
正の整数というのは、０より大きい整数のことです。
Ａは３の倍数であるが９の倍数ではないから、Ａを３で割った余りは３か６となり、Ａの各桁の和は９で割ると３か６余ることになります（９の倍数判定法は、９で割った余りの判定法でもあることをしっかり押さえておきましょう）。
また、Ａの各桁の積をＡに足すと９の倍数になることから、Ａの各桁の積を９で割った余りは、Ａが９で割ると３余るときは６となり、Ａが９で割ると６余るときは３となります。
Ａの各桁の積が３の倍数となることから、Ａの各桁には３の倍数が含まれることになりますが、各桁の積が９の倍数になってはいけないことから、Ａの各桁には９の倍数（０、９）が含まれることはなく、また、３の倍数が複数個含まれることもありません。
結局、Ａの各桁には３か６が１個だけ含まれることになります。
Ａが１桁の数の場合、Ａは３か６となりますが、各桁の積もそれぞれ３、６となり、条件を満たしませんね。
Ａが２桁の数の場合、十の位と一の位は、３の倍数（３か６）と３の倍数でない数が１個ずつとなるので、３の倍数となることはなく、明らかに条件を満たしません。
Ａが３桁の数の場合、最小のＡを求めるので、百の位が１の場合から小さい順に調べていきます。
１１□の場合、□に３か６を入れても３の倍数とならないので、条件を満たしません。
１２□の場合、□に３を入れたときのみ、３の倍数であるが９の倍数ではないという条件を満たします。
１２３は９で割ると６余り、１×２×３＝６も９で割ると６余るから条件を満たしません。
１３□の場合、□に２か８を入れたときのみ、３の倍数であるが９の倍数ではないという条件を満たします。
１３２は、１２３同様条件を満たしませんね。
１３８は９で割ると３余り、１×３×８＝２４は９で割ると６余るからすべての条件を満たします。
したがって、最小のＡは１３８となります。
なお、９の倍数判定法については、洛星中学校２００２年後期算数２第１問（９の倍数判定法の証明問題）の解答・解説を参照するとよいでしょう。
