今回は、日本数学オリンピック２００４年予選第４問を取り上げ、解説します。
「正の」というのは０より大きい整数、７ｍは７×ｍ、３ｎは３×ｎ、１０2004は１０を２００４個かけあわせた数ということです。
数が大きいので、一見すると難しそうですが、例えば、次のように、数が小さければ中学入試レベルの問題です。
７×ｍ＋３×ｎ＝１００を満たす整数（ｍ,n)で、ｎ/ｍが整数となるようなものはいくつあるか。ただし、ｍ、ｎは１以上の整数とします。
（７円切手と３円切手をそれぞれ１枚以上使って金額が１００円になるようにします。３円切手の枚数は７円切手の枚数のちょうど何倍かになっています。７円切手と３円切手の枚数の組合せとして考えられるものは何通りありますか。このよう表現すれば、より小学生っぽいですね。ただ、７円切手や３円切手はもうないと思うので、非現実的な話ですが・・・）
とりあえず、この問題を解いてみます。
n＝ｍ×ｋ（ｋは１以上の整数）とすることができます。
７×ｍ＋３×ｍ×ｋ＝１００
ｍ×（７＋３×ｋ）＝１００ （分配法則の逆を利用）
ｍと７＋３ｋは１００の約数のペアで、７＋３×ｋ＝１＋６＋３×ｋ＝１＋３×（２＋ｋ）は３で割ると１余る数（１０以上）であることに注意します。
１００の約数をペアにして書き出します。
１ ２ ４ ５ １０
１００ ５０ ２５ ２０
７＋３×ｋとしてありうる数は１０、２５、１００となり、このとき、ｍもｋも自動的に定まるから、（ｍ,ｎ）は３個あります。
この解法をJMOの問題で使おうとすると、約数を書き出したところだけが非常に困難になることがすぐにわかると思います。
上の解法からわかるように、約数を具体的に求める必要はありませんね。
そこで、１０2004の約数を書き出す代わりに、１０2004を素因数分解することにより、１０2004の約数のうち３で割ると１余る数（１０以上）が何個あるか求めることにします。
上の解法で１００の約数を書き出すまでは１００を１０2004に置き換えるだけなので、その続きを考えることにします。
１０＝２×５だから、１０2004＝２2004×５2004となります。
１０2004の約数は、２の使用個数（０個から２００４個）と５の使用個数（０個から２００４個）で決まります（洛南高校附属中学校２０１６年算数第１問（１）の解答・解説を参照）。
２と５のそれぞれの使用個数によって、３で割った余りがどうなるかチェックしていきます。
まず、２についてチェックします。
０個・・・１→１
１個・・・２→２
２個・・・４→１
・・・・・・・・
となり、２を偶数（０も含みます）個使用した場合（Ａとします）は、３で割った余りが１となり、２を奇数個使用した場合（Ｂとします）は、３で割った余りが２となります。
次に、５についてチェックします。
０個・・・１→１
１個・・・５→２
２個・・・５×５＝２５→１
・・・・・・・・・・・・・
となり、５を偶数（０も含みます）個使用した場合（Ｃとします）は、３で割った余りが１となり、５を奇数個使用した場合（Ｄとします）は、３で割った余りが２となります。
結局、１０2004の約数が３で割ると１余るのは、ＡとＣを組み合わせたときとＢとＤを組み合わせたときになります（このことは下のような面積図をイメージすればすぐにわかります。黄色の部分は３で割り切れるので、３で割った余りは黄緑色の部分で決まりますね）。
（あ）ＡとＣを組み合わせた場合
０以上２００４以下の偶数は２００４/２＋１＝１００３個あります（０があるので、１を足さないといけないことに注意しましょう）。
Ａは１００３通りあり、そのそれぞれに対てＣも１００３通りあるから、
１００３×１００３
＝１００６００９通り （この計算は１００３＝１０００＋３として、上の面積図と同じようなものを思い浮かべれば暗算で求められます。）
ありますが、Ａが０個でＢが０個の場合（１）とＡが２個でＢが０個の場合（４）だけは約数が１０未満となり、条件をみたしません。
結局、この場合は
１００６００９－２
＝１００６００７通り
あります。
（い）ＢとＤを組み合わせた場合
０以上２００４以下の奇数は２００４/２＝１００２個あります（２００４＋１－１００３＝１００２としてもよいでしょう）。
Ａは１００２通りあり、そのそれぞれに対してＣも１００２通りあるから、
１００２×１００２
＝１００４００４通り
あり、すべて１０以上となるから条件を満たします。
（あ）、（い）より、７＋３×ｋとしてありうる数は
１００６００７＋１００４００４
＝２０１００１１通り
あり、このとき、ｍもｋも（当然ｍ、ｎも）自動的に定まるから、（ｍ,ｎ）は２０１００１１個あります。
