今回は、日本ジュニア数学オリンピック２００８年第７問を取り上げ、解説します。
「正の」というのは０より大きいということです。
最難関中学校の受験生であれば、最大公約数と最小公倍数を素因数分解の利用により求める手法を知っているはずです（連除法（すだれ算）の意味がわかっていれば当然わかるはずです）。
その手法を使って解きます。
まず、７２０を素因数分解します。
７２０を小さい素数でちまちまと割っていくのではなく、「九九の逆」を利用して素早く行うのがポイントです。
７２０
＝８×９×１０
＝２×２×２×２×３×３×５
a、b、cの最小公倍数が７２０のとき、a、b、cをそれぞれ素因数分解したときの素因数２の個数は０個以上４個以下の５通り考えられますが、このうち、a、b、cの素因数２の個数がすべて０個以上３個以下の場合は条件を満たしません。
そこで、その場合を取り除きます（あえて余分なものを含めてカウントし、後でそれを取り除くのがポイントです）。
a、b、cをそれぞれ素因数分解したときの素因数２の個数については（５×５×５－４×４×４）＝６１通り考えられます。
同様に、a、b、cをそれぞれ素因数分解したときの素因数３の個数については（３×３×３－２×２×２）＝１９通り考えられ、a、b、cをそれぞれ素因数分解したときの素因数５の個数については（２×２×２－１×１×１）＝７通り考えられます。
a、b、cをそれぞれ素因数分解したときの素因数は２、３、５だけだから、結局、条件を満たすa、b、cの組は、全部で
６１×１９×７
＝４２７×１９
＝８５４０－４２７（４２７を２０個持ってきて、１個取り除きました。暗算で計算できますね。）
＝８１１３通り
あります。
