日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２００９年予選の問題
今回は、日本ジュニア数学オリンピック２００９年予選第４問を取り上げ、解説します。
「正の」というのは、０より大きいということです。
今回取り上げた問題ですが、算数の計算の工夫を利用すれば、簡単に解けます。
例えば、２０２５×９９９（２０２５が９９９個あるということですね）を計算する際、２０２５×１０００－２０２５（２０２５が１０００個ある状態から１個取り除くということですね）＝２０２５０００ー２０２５＝２０２２９７５として計算すると楽になります。
２０２５×９９９と２０２５×１０００の２つの計算のうちどちらか１問を解きなさいと子供に言うと、後者を選択します。
１０００のようなきっちりとした数のほうが計算が楽だからです。
さて、JJMOの問題を解いてみましょう。
３桁の整数で一の位と十の位がともに９の整数を書き出してみると、
１９９、２９９、３９９、・・・、９９９
となりますが、これらの整数は
２００－１、３００－１、４００－１、・・・、１０００－１
とすることができます。
そこで、条件を満たす３桁の２整数を１００×〇ー1、１００×△ー１（〇、△は２以上１０以下の整数９）とします。
（１００×〇ー1）×（１００×△ー１）
＝１００００×〇×△ー１００×〇ー１００×△＋１ （下の面積図を参照しましょう。黄色の長方形の面積が問題の２つの整数の積になります。長方形全体（きっちりした数の積（１００００×〇×△）になりますね）から、黄緑色の長方形、紫色の長方形、水色の正方形の面積を取り除くのですが、その際、黄緑色の長方形と水色の正方形を合わせた長方形の面積（１００×〇）と紫色の長方形と水色の正方形を合わせた長方形の面積（１００×△）を引き、引きすぎた水色の正方形の面積（１×１）を足します（「ひきすぎ⇒たす」の利用）。
＝☆０００１－１００×（〇＋△） （☆は〇×△です。ひく数をまとめました。）
１００×（〇＋△）は１００×（２＋２）＝４００以上１００×（１０＋１０）＝２０００以下で、１００００の位からの繰り下がりを考える（１００００－４００＝９６００、１００００－２０００＝８０００）と、千の位は８か９ととなります。
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