今回は、日本ジュニア数学オリンピック２００５年第３問を取り上げ、解説します。
JJMOの予選がなかったころの問題で、前半の問題は予選レベルの問題です。
問題を見た瞬間に、ベンツ切りの問題だと言ってあっという間に解いてしまう中学受験生が結構いるでしょう。
中点というのは真ん中の点ということです。
因みに、点Ｇは重心です。
２点ＯとＧを直線で結びます。
いわゆる等高図形・等底図形の面積比の知識（「三角形の高さ一定⇒面積比＝底辺の比、三角形の底辺一定⇒面積比＝高さの比」）をフル活用します（いわゆるベンツ切りの処理）。
ＯＰ＝ＰＡだから、三角形ＧＯＡの面積を②とすると、三角形ＧＯＰの面積＝三角形ＧＰＡの面積＝①となります。
また、ＢＱ＝ＱＯだから、三角形ＧＡＢの面積＝三角形ＧＯＡの面積＝②となります。
同様に、ＯＰ＝ＰＡだから、三角形ＧＢＯの面積＝三角形ＧＡＢ＝②となり、ＢＱ＝ＱＯだから、三角形ＧＢＱの面積＝三角形ＧＱＯの面積＝①となります。
②＋②＋②＝⑥が６に相当するから、四角形ＯＰＧＱの面積（①＋①＝②）は２となります。
なお、真ん中の点同士を結んで解くこともできますが、この問題では上の解法と比べるとかなり劣るでしょう。
一応概略を書いておくと次のようになります。
台形部分でいわゆる台形ペケポンの処理を行い、最後に、等高図形の面積比の知識を利用して、三角形ＱＯＰの面積＝三角形ＱＰＡの面積とすれば、すべての面積比がわかりますね。
東大の古い問題（東京大学１９６１年理科・文科数学第４問）が、この問題の最初に紹介した解法ですぐに解けるのでぜひ解いてみましょう。
