日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２０１２年予選の問題
今回は、日本ジュニア数学オリンピック２０１２年予選第５問を取り上げ、解説します。
正のというのは０より大きいということで、bcd、ab、cdはそれぞれb×c×d、a×b、c×dということです。
a＋b×c×d＝a×b＋c×dの両辺からaとc×dを引くと、
b×c×d－c×d＝a×b－a
となり、分配法則の逆を利用すると、
c×d×（b－１）＝a×（b－１）
となります（中学生で因数分解を習っていれば、すべてを左辺に集めて因数分解すればいいでしょう）。
（あ）b－１が０のとき
bは１の１通りで、a、c、dはどのような数でもいいから、条件を満たすものは全部で（１×）９×９×９＝７２９組あります。
（い）b－１が０でないとき
ｂは１以外の８通りあります。
このとき、c×d=aとなり、c、dはaの約数のペア（aが平方数のときは、c＝dとなるものを約数のペアと考えます）となります。
aが１以上９以下の整数となる場合を調べつくすだけです。
c、dの組は、aの（正の）約数の個数だけありますね（約数の個数の求め方については、洛南高校附属中学校２０１６年算数第１問（１）の解答・解説を参照）。
a
１・・・１組
２（素数）・・・２組
３（素数）・・・２組
４（２×２）・・・３組
５（素数）・・・２組
６（２×３）・・・２×２＝４組
７（素数）・・・２組
８（２×２×２）・・・４組
９（３×３）・・・３組
この場合は、８×（１＋２＋２＋３＋２＋４＋２＋４＋３）＝１８４組あります。
（あ）、（い）より、条件を満たす組は全部で７２９＋１８４＝９１３組あります。
