日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２０１５年予選の問題
今回は、日本ジュニア数学オリンピック２０１５年予選第１１問を取り上げ、解説します。
JJMOの予選の最後から２問目の問題です。
例年、このあたりに配置される問題は、小学生が解けるようなものはほぼないのですが、今回取り上げる問題は、中学入試に出されても何の不思議もない問題です。
しかも、この問題は、日本ジュニア数学オリンピック２００４年第８問（いずれ取り上げます）の劣化版という感じの問題です。
同じ構図の問題ですが、長さが与えられた辺の場所が変わったため、具体的な比が求めやすくなっています。
いわゆる隣辺比と等高図形の面積比（下の説明を参照）を使うだけなので、ある程度のレベルの中学校を志望する受験生なら解けてほしい問題です。
（いわゆる隣辺比と等高図形の面積比について）
２つの三角形において、同じ大きさの角度がある場合と和が１８０度の角度がある場合に使えます。
三角形ＰＱＲと三角形ＰＳＴにおいて、
底辺の比 ＰＱ：ＰＳ
高さの比 ＰＲ：ＰＴ（底辺に向かって垂直な線を引き、直角三角形のピラミッド相似に着目すると、この比が高さの比と一致することが分かります。）
となるから、
面積の比 （ＰＱ：ＰＲ）：（ＰＳ×ＰＴ）
となります。
真ん中の図になると、この知識を使えなくなる子が多いですが、公式を丸暗記するのではなく、上記で説明した意味をしっかり理解していれば、真ん中の図でも使えるのは当たり前ということがわかるはずです。
なお、点Ｑと点Ｓが一致したり、点Ｔと点Ｒが一致したりすると、いわゆる等高図形の面積比の場合になります。
さて、JJMOの問題を解いていきましょう。
辺の比を１つの辺上に集めます。
ＡＢ：ＣＤ
＝三角形ＯＡＢの面積：三角形ＯＣＤの面積 （等高図形の面積比を利用）
＝（１６×１０）：（９×１２） （隣辺比を利用）
＝４０：２７
＝[４０]：[２７]
となり、
ＡＣ：ＢＤ
＝三角形ＯＡＣの面積：三角形ＯＢＤの面積 （等高図形の面積比を利用）
＝（１６×９）：（１０×１２） （隣辺比を利用）
＝６：５
＝⑥：⑤
となります。
ＢＣの長さに着目すると、
⑥－[４０]＝⑤－[２７]
①＝[１３]
となります。
ＡＤ＝[１３]×⑥/①＋[２７]＝[１０５]
ＢＣ＝[７８]－[４０]＝[３８]
となるから、ＢＣ/ＡＤ＝[３８]/[１０５]＝３８/１０５となります。
