日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２０２０年予選の問題
今回は、日本ジュニア数学オリンピック２０２０年予選第２問を取り上げ、解説します。
正のというのは０より大きいということです。
中学入試や大学入試でも同じような問題が出されています（白陵中学校２００７年算数１次第７問、大阪大学１９９９年前期文系数学第３問など）。
白陵中学校の解説では、文字式を一切使わずに解説しているので、そちらも参考にしましょう。
さて、JJMOの問題を解いてみましょう。
a以上b以下の整数をすべて足すと２０２０だから、
（a＋b）×（b－a＋１）×１/２＝２０２０ （等差数列の和の公式（（最初の数＋最後の数）×個数×１/２））を利用しました。）
（a＋b）×（b－a＋１）＝４０４０
となります。
（a＋b）－（b－a＋１）
＝（a×２＋b）－（b＋１） （引かれる数と引く数にaを足しました。差は変わりませんね（差一定）。）
＝a×２－１
は１以上だから、a＋b＞b－a＋１となります（上で紹介した阪大の問題の解説では和に着目していますが、今回は差に着目しました。aが最も小さくなるという条件を差が最も小さくなるという条件に帰着させるためです）。
また、a＋bとb－a＋１は、その差（a×２－１）が奇数だから、一方が奇数で、他方が偶数になります（偶奇性の利用）。
さらに、４０４０＝４×１０×１０１＝２×２×２×５×１０１となります（「九九の逆」を利用して素早く素因数分解しました）。
したがって、２数（a＋bとb－a＋１）の積（４０４０の約数のペア）として考えられるものは、８×５０５、４０×１０１、５×８０８、１×４０４０となります。
aが最小となるのは、a＋bとb－a＋１の差（a×２－１）が最小となるときだから、a＋b＝１０１、b－a＋１＝４０の場合になります。
a＋b＝１０１、b－a＝３９となるから、和差算により、b＝（１０１＋３９）/２＝７０、a＝１０１－７０＝３１となります。
