日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２０２０年予選の問題
今回は、日本ジュニア数学オリンピック２０２０年予選第５問を取り上げ、解説します。
∠というのは、角のことです。
凸四角形というのは、小学生の場合、へこみのない四角形と考えればよいでしょう。
中点というのは、真ん中の点ということです。
線分ＰＱというのは、直線ＰＱにおける２点ＰとＱの間の部分ということです（他も同様）。
小学生が知らないような記号や用語がちりばめられていますが、問題自体は大したことはありません。
最難関中学校の受験生であれば解けてほしい問題です。
さて、JJMOの問題を解いていきましょう。
７２＋４８＝１２０度で、１８０－１２０＝６０度だから、正三角形が絡んでいると予想できますね。
そこで、７２度と４８度の角度を近づけることを考えます（辺ＡＢと辺ＣＤを延長すると、２直線ＡＢとＣＤが交わったところに６０度が出てきますが、中点という条件を活かしにくいですね）。
また、真ん中の点が複数あるので、中点連結定理を利用することを考えます。
小学生は中点連結定理を知りませんが、相似比が１：２のピラミッド相似を利用することを考えればいいだけの話です。
辺ＢＣの真ん中の点をＲとし、２点ＰとＲ、ＱとＲをそれぞれ直線で結びます。
三角形ＣＰＲと三角形ＣＡＢのピラミッド相似（２辺の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから相似ですね）に着目すると、角ＰＲＣ＝角ＡＢＣ＝７２度、ＰＲ＝ＡＢ×１/２＝７/２となります。
同様に、三角形ＢＲＱと三角形ＢＣＤのピラミッド相似（２辺の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから相似ですね）に着目すると、角ＢＲＱ＝角ＢＣＤ＝４８度、ＲＱ＝ＣＤ×１/２＝７/２となります。
三角形ＰＱＲは、角ＱＲＰが１８０－（７２＋４８）＝６０度で、ＲＰ＝ＲＱだから、正三角形となります。
したがって、ＰＱ＝７/２となります。
