今回は、日本数学オリンピック２００９年予選第３問を取り上げ、解説します。
同じような問題が灘中学校で出されています（灘中学校２０１８年算数１日目第３問）。
さて、JMOの問題を解いてみましょう。
正の整数というのは０より大きい整数ということで、ab、bcはそれぞれa×b、b×cということです。
まず、与えられた２つの式の和を考え、分配法則（逆）を利用します。
a×b＋a＋c＋b×c＝３６
a×（b＋１）＋c×（b＋１）＝３６
（a＋c）×（b＋１）＝３６
a＋cとb＋１は３６の約数のペア（ただし、２以上）となります。
次に、与えられた２つの式の差を考え、分配法則を利用します。
bc－c＋a－ab＝１０
（b－１）×ｃ－（b－１）×a＝１０（文字式計算の習熟度が低く、負の数を習っていない小学生にとっては、この変形が若干難しいかもしれませんが、例えば、２００＋１７－１７×１１を計算する際、２００に１７を１個加えた後、１７を１１個取り除くのだから、結局、２００から１７を１０個取り除けばいいと考えて、２００－１７×１０＝２００－１７０＝３０と計算するのと同じことです。）
（b－１）×（c－a）＝１０
b－１とc－aは１０の約数のペア（ただし、０以上（積が０でないから、実際は１以上）となります。
なお、与えられた２つの式において、上の式のaとcを入れ替えたものが下の式になり、２３が１３より大きく、b倍する影響力が１倍する影響力を下回ることはないので、cのほうがaより大きいことがすぐにわかりますね。
約数の少ない１０のほうの約数のペアを書き出していきます。
（b－１,c－a）＝（１，１０）、（２，５）、（５，２）、（１０，１）となり、bは２、３，６、１１のいずれかとなり、b＋１は３、４、７、１２のいずれかとなります。
このうち３６の約数となるのは、b＋１が３、４、１２のときとなり、（b＋１,a＋c）＝（３，１２）、（４，９）、（１２，３）となります。
結局、（c－a,a＋c）＝（１０，１２）、（５，９）、（１，３）となり、あとは和差算を解くだけです。
（１２－１０）/２＝１、１０＋１＝１１
（９－５）/２＝２、５＋２＝７
（３－１）/２＝１、１＋１＝２
したがって、（a,b,c）＝（１，２，１１）、（２，３，７）、（１，１１，２）となります。
