今回は、日本ジュニア数学オリンピック２００４年第７問を取り上げ、解説します。
最難関中学校の受験生であれば組合せをマスターしているはずなので、問題なく解けるでしょう。
赤色の玉の個数で場合分けして考えます。
（あ）赤色の玉が１個の場合
赤色の玉が８か所のうちどの１か所にあるかで８通りあり、そのそれぞれに対して、残りの７か所について、青色の玉になるか黄色の玉になるかで２通りずつあるから、全部で８×２×２×２×２×２×２×２（２の１０乗になりますね）＝１０２４通りあります。
（い）赤色の玉が３個の場合
赤色の玉が８か所のうちどの３か所にあるかで（８×７×６）/（３×２×１）＝８×７通りあり、そのそれぞれに対して、残りの５か所について、青色の玉になるか黄色の玉になるかで２通りずつあるから、全部で８×７×２×２×２×２×２（２の８乗の７倍になりますね）＝１７９２通りあります。
（う）赤色の玉が５個の場合
赤色以外の玉が８か所のうちどの３か所にあるかで（８×７×６）/（３×２×１）＝８×７通りあり、そのそれぞれに対して、残りの３か所について、青色の玉になるか黄色の玉になるかで２通りずつあるから、全部で８×７×２×２×２＝４４８通りあります。
（え）赤色の玉が７個の場合
赤色以外の玉が８か所のうちどの１か所にあるかで８通りあり、そのそれぞれに対して、残りの１か所について、青色の玉になるか黄色の玉になるかで２通りあるから、全部で８×２＝１６通りあります。
（あ）～（え）より、条件を満たす並べ方は全部で１０２４＋１７９２＋４４８＋１６＝１０４０＋２２４０（両端から２個ずつ組み合わせて計算しました）＝３２８０通りあります。
なお、使わない色の玉があってはいけない場合であれば、（あ）の場合は８×（２×２×２×２×２×２×２－２）となります。他の場合も同じようにして求められます。
