今回は、日本数学オリンピック２０００年予選第２問を取り上げ、解説します。
3a、5bというのは、それぞれ３×a、５×bのことで、自然数というのは１以上の整数のことです。
フロベニウスの硬貨交換問題とかシルベスターの切手問題とか呼ばれる有名問題で、大学入試だけでなく、中学入試でも昔からよく出されています（大阪大学２０００年前期理系数学第３問、甲陽学院中学校１９９７年算数２日目第３問、甲南中学校２０００年２期算数第３問、渋谷教育学園幕張中学校２０１３年算数第３問）。
このJMOの問題は、上の阪大と甲陽学院の問題の一部に過ぎないなので、詳しくはそちらの解答・解説を参照してください。
上の解説では、３と５に関係なく、横に６個の数を並べて解いていますが、横に３個並べると、下のようになります。
因みに、「公式」を使うと、３と５で作ることができない最大の整数は３×５－（３＋５）＝７となり、３と５で作ることができない整数の個数は（３－１）×（５－１）/２＝４個となりますが、上で整数を書き並べたものと確かに一致していますね。
