日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２０１０年予選の問題
今回は、日本ジュニア数学オリンピック２０１０年予選第３問を取り上げ、解説します。
中学入試っぽい問題です。
最難関中学校の受験生であれば、解けないといけない問題でしょう。
内分するというのは分けるということです。
線分というのは、小学生の場合、直線と考えればいいでしょう。
標準的には、下の右側の図のように、延長した線をたくさん引いてちょうちょ相似を複数作り出して解くのでしょうが、今回は、下の左側の図のように、与えられた図形の内側に平行線を引いてちょうちょ相似とピラミッド相似を作り出し、ＳＶ上に辺の比を集めて変化量を用いて解きます。
点Ｒを通り辺ＡＤと平行な線を引き、ＴＱ、ＳＶと交わった点をそれぞれＥ、Ｆとし、また、点Ｑを通り辺ＡＤと平行な線を引き、ＳＶと交わった点をＧとします。
三角形ＱＲＥと三角形ＱＤＴのピラミッド相似（相似比はＱＲ：ＱＤ＝１：２）に着目すると、ＥＲ＝２×１/２＝１となります。
また、三角形ＵＰＱと三角形ＵＲＥのちょうちょ相似（相似比はＰＱ：ＲＥ＝３：１）に着目すると、ＧＵ：ＦＵ＝３：１＝③：①となります（高さの比と一致するからです）。
さらに、ＳＦ：ＦＧ：ＧＶ＝ＤＲ：ＲＱ：ＱＣ＝１：１：１＝④：④：④となります。
ここで、三角形ＵＧＱと三角形ＵＳＴのちょうちょ相似（相似比はＵＧ：ＵＳ＝③：（①＋④）＝３：５）に着目すると、ＧＱ＝１×３/５＝３/５となります。
ＳからＶまで２めもり（⑧）移動する間に、ＳＤがＧＱとなり、長さが１－３/５＝２/５減るので、さらに１もめり（④）移動する間に、長さが２/５×１/２＝１/５減り、ＶＣ＝３/５－１/５＝２/５となります。
したがって、ＢＶ＝３－２/５＝１３/５となります。
京都大学でも同じような問題（京都大学２０１３年理系数学第１問・文系数学第２問）が出されているのでぜひ解いてみましょう。
京大の問題の解説では、相似を媒介として辺の比を移すという方針で解いていますが、上の解説でＧＵ：ＦＵを求める際に使ったように、高さの比と一致するという考え方を使うこともできます。
