今回は、日本数学オリンピック２０００年予選第５問を取り上げ、解説します。
最難関中学校の受験生なら解けないといけない問題です。
中点というのは、真ん中の点ということです。
辺ＢＣ、ＥＨの真ん中の点をそれぞれＩ、Ｊとします。
問題文の記号の配置が意地悪な設定になっているので、点Ｋ、Ｌ、Ｍ、Ｎが「表側」の見やすいところに来るような図をかきます。
六角形ＩＫＬＪＭＮは正六角形となりますね。
問題の図形は、点対称図形だから、この正六角形の手前側の図だけかいて処理します（対称性を利用して作業範囲を減らします）。
四角すいＧ－ＫＬＭＮと六角すいＧ－ＩＫＬＪＭＮは高さが一定で、底面積の比が４：６＝２：３だから、体積の比も２：３となります。
六角すいＧ－ＩＫＬＪＭＮ２個分の体積は
１×１×１－１/２×１/２×１/２×１×１/３×６ （立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨの体積から、三角すいＧ－ＦＭＮの体積６個分を取り除きました。）
＝３/４
だから、八面体Ａ－ＫＬＭＮ－Ｇの体積は
３/４×２/３
＝１/２
となります。
なお、正六角形をかかずに、求める体積が三角すいＭ－ＧＬＫの体積の２×２＝４倍であることに着目して、立方体の体積の３/８×１×１/３×４＝１/２倍として答えを求めることもできます（詳細は省略）。
この問題を解くにあたってはこの解法のほうが楽だと思いますが、六角すいを作る手法は中学入試で誘導として出されますし、マスターしておくべきものなので、あえて六角すいを作り出して解きました。
