今回は、日本数学オリンピック２００７年予選第４問を取り上げ、解説します。
この年のJJMOでも同じ問題が出されています（日本ジュニア数学オリンピック２００７年第８問）。
JJMOの予選がなかったころの９問中８番目の問題だから、JJMOとしては本選レベルの問題ということでしょうね。
とはいえ、小学生でも解ける可能性が十分ある問題です。
ある程度のレベルの中学校を志望する受験生であれば当然マスターしているはずの解法を使うだけですからね。
さて、問題を解いてみましょう。
「正の」というのは０より大きいということです。
４桁の整数ｎの上２桁と下２桁をそれぞれ、□、△（ともに１０以上９９以下の整数）とすると、ｎは□×１００＋△となります。
これが□×△の倍数（□×△×〇（〇は整数）とします）となるから、□×１００＋△＝□×△×〇となります。
□×１００と□×△×〇はともに□の倍数だから、△も□の倍数（□×☆（☆は整数）とします）となります。
△も□も２桁の数だから、☆は１以上９以下となります。
□×１００＋△＝□×△×〇の△を□×☆で置き換えると、□×１００＋□×☆＝□×□×☆×〇となります。
この式を１/□倍すると、１００＋☆＝□×☆×〇となります。
☆も□×☆×〇も☆の倍数だから、１００も☆の倍数、言い換えれば、☆は１００の約数となります。
☆は１以上９以下だから、☆は１、２、４、５のいずれかとなります。
あとは、１００＋☆＝□×☆×〇の☆が１、２、４、５の場合を調べつくすだけです。
（あ）☆＝１のとき
１０１＝□×〇となり、□と〇は１０１の約数のペアとなります。
１０１は素数だから、２桁の整数を約数を持たず、条件を満たしません。
（い）☆＝２のとき
１０２＝□×２×〇、つまり５１＝□×〇となり、□と〇は５１の約数のペアとなりますが、５１（３×１７）の約数で２桁のものは、１７、５１だけとなります。
また、△（□×☆）が２桁の数だから、□は１００/２＝５０未満（９９/２以下の整数となりますが、計算を楽にするためあえてこのようにしています）の整数となり、（□,〇）＝（１７，３）だけがありえます。
（□,〇）＝（１７，３）のとき、言い換えれば、ｎ＝１７３４のとき、確かに条件を満たします。
（う）☆＝４のとき
１０４＝□×４×〇、つまり□×〇＝２６となり、□と〇は２６の約数のペアとなりますが、２６（２×１３）の約数で２桁のものは、１３、２６だけとなります。
また、△（□×☆）が２桁の数だから、□は１００/４＝２５未満の整数となり、（□,〇）＝（１３，２）だけありえます。
（□,〇）＝（１３，２）のとき、言い換えれば、ｎ＝１３５２のとき、確かに条件を満たします。
（え）☆＝５のとき
１０５＝□×５×〇、つまり□×〇＝２１となり、□と〇は２１の約数のペアとなりますが、２１（３×７）の約数で２桁のものは、２１だけとなります。
ところが、△（□×☆）が２桁の数だから、□は１００/５＝２０未満の整数となり、この場合はありえません。
（あ）～（え）より、求めるｎは１７３４と１３５２となります。
