日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２００９年予選の問題
今回は、日本ジュニア数学オリンピック２００９年予選第８問を取り上げ、解説します。
簡単な問題ではありませんが、倍数判定法を丸暗記ではなく、きっちり理解できていれば、小学生でも解ける問題です。
２×５＝１０より、十の位以上の部分は２でも５でも割り切れるから、２の倍数判定法も５の倍数判定法も下１桁が当該倍数となっているかどうかをチェックすることになりますね。
それと同様に、４×２５＝１００より、百の位以上の部分は４でも２５でも割り切れるから、４の倍数判定法も２５の倍数判定法も下２桁が当該倍数となっているかどうかをチェックすることになりますし、８×１２５＝１０００より、千の位以上の部分は８でも１２５でも割り切れるから、８の倍数判定法も１２５の倍数判定法も下３桁が当該倍数となっているかどうかをチェックすることになります。
さて、JJMOの問題を解いてみましょう。
１以上１００以下の奇数５０個には、５と２５が含まれるので、１以上１００以下の奇数の積は５×２５＝１２５の倍数となります。
最初に述べたことから、下３桁の数が１２５の倍数となりますが、１２５の倍数で奇数の３桁の数は１２５、３７５、６２５、８７５だから、答えはこのいずれかとなります。
ところで、１２５、３７５、６２５、８７５を８で割ったときの余りはそれぞれ５、７、１、３ですね。
そこで、１以上１００以下の奇数の積を８で割ったときの余りを考えます。
１以上１００以下の奇数５０個をそれぞれ８で割ったときの余りは、４個ごとに同じ繰り返しとなります（８で割ったときの余りは連続する８個の整数ごとに同じ繰り返しとなりますが、奇数だけを考えているので４個ごとに同じ繰り返しとなりますね）。
１、３、５、７ →積を８で割ったときの余りは１となります。
９、１１、１３、１５ →積を８で割ったときの余りは、それぞれの数を８で割ったときの余りを考え、その積を８で割ったときの余りと一致する（面積図を思い浮かべればわかることです（下の（参考）を参照））から、１となります（以下同様）。
・・・・・・・・・・（４個を１セットと考えたとき、１２セットありますが、どうでもいいことです。積を8で割ったときの余りが１で結論に影響を与えませんからね。）
９７、９９ →積を８で割ったときの余りは、１×３＝３となります。
結局、１以上１００以下の奇数５０個の積を８で割ったときの余りは３となります。
したがって、答えは８７５となります。
（参考）
８で割ると△余る数（８×〇＋△）と８で割ると☆余る数（８×□＋☆）の積を８で割ったときの余りを考えます。
この積は下の図の長方形全体の面積となりますが、ピンク色の部分の面積は８の倍数となるから、紫色の部分の面積（△×☆）を８で割った余りを考えればいいことになります。
このことを繰り返し用いれば、個数が増えても同じことですね。
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