今回は、日本ジュニア数学オリンピック２００５年第６問を取り上げ、解説します。
JJMOの予選がなかったころの問題で、前半の問題は実質的には予選の問題のようなものです。
三角形ができない場合の例がわざわざ問題文に明記されているので、小学生でも簡単に解けます。
９個から３個の点を選ぶ場合の数は
（９×８×７）/（３×２×１）
＝８４通り
あり、このうち、一直線上に並ぶ３個の点を選んだ場合だけ三角形ができません。
一直線上に並ぶ３個の点の選び方は、縦に並ぶ３個の点を選ぶ場合（３通り）、横に並ぶ３個の点を選ぶ場合（３通り）、斜めに並ぶ３個の点を選ぶ場合（２通り）があり、合わせて８通りあります。
したがって、三角形は全部で８４－８＝７６個あります。
なお、東大でもう少し難しい問題（縦に４個、横に５個の点が等間隔に２０個並んでいるところから３個の点を選ぶときに、三角形が何個できるか求める問題（東京大学１９５７年二次解析Ⅱ第３問））が出されているので、興味のある人は解いてみるとよいでしょう。
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