今回は、日本ジュニア数学オリンピック２００３年第３問を取り上げ、解説します。
JJMOの予選がなかったころの問題で、前半の問題は実質的には予選の問題のようなものです。
小学生の場合、√７は〇と考えればいいでしょう（（解法１）の場合は、そもそも√７を使う必要すらありません）。
（解法１）
わからない辺の比をわかる辺の比のところに移動させて解きます。
最難関中学校の受験生であれば、当然この手法をマスターしているはずですね。
点Ｑを通り、辺ＡＢに平行な直線を引き、直線ＡＲ、ＡＤと交わった点をそれぞれ点Ｔ、Ｕとします。
まず、三角形ＡＱＵと三角形ＡＳＤのピラミッド相似と三角形ＡＴＱと三角形ＡＲＳのピラミッド相似（相似比はともにＡＱ：ＡＳ）に着目すると、ＤＳ/ＳＲ＝ＵＱ/ＱＴ・・・①となります。
次に、三角形ＡＢＰと三角形ＴＱＰのちょうちょ相似（相似比はＢＰ：ＱＰ＝３：２）に着目すると、ＢＡ/ＱＴ＝３/２・・・②となります。
ＵＱ＝ＢＡ、①、②より、ＤＳ/ＳＲ＝３/２となります。
（解法２）
（解法１）の補助線に気付かなくても、すでにあるちょうちょ相似に着目して解くこともできます。
計算が若干面倒になり、文字式（のようなもの）の扱いにある程度習熟していないと厳しいですが・・・
上の図の直線ＵＴがないもので考えます。
辺ＡＢ（辺ＣＤ）の長さを[１５]とします。
まず、三角形ＡＢＰと三角形ＲＣＰのちょうちょ相似（相似比はＢＰ：ＣＰ＝３：（２＋〇））に着目すると、ＣＲ＝[１５]×（２＋〇）/３＝[５]×（２＋〇）＝[１０]＋[５]×〇となります。
次に、三角形ＡＢＱと三角形ＳＣＱのちょうちょ相似（相似比はＢＱ：ＣＱ＝５：〇）に着目すると、ＣＳ＝[１５]×〇/５＝[３]×〇となります。
ＤＳ：ＳＲ
＝（[１５]＋[３]×〇）：（[１０]＋[５]×〇－[３]×〇）
＝（[１５]＋[３]×〇）：（[１０]＋[２]×〇）
＝３：２
となるから、ＤＳ/ＳＲ＝３/２となります。
