小学生でも解けるジュニア数オリ問題　日本ジュニア数学オリンピック（JJMO）２０１１年予選第８問

今回は、日本ジュニア数学オリンピック２０１１年予選第８問を取り上げ、解説します。

最難関中学校の受験生であれば、直角三角形が直角の向かいの辺を直径とする円の中にきっちり入ることは知っているでしょう。
まず、そのことを利用します。
四角形ＡＢＱＣは円の中にきっちり入っていますね。

　　
以下、角ＸＹＺの大きさを単に角ＸＹＺと表記することにします。
円周角の定理を知っていれば、角ＡＱＣ＝角ＡＢＣ＝４５度となることがすぐにわかるのですが、小学生には若干厳しいと思うので、円周上の点と円の中心を結んでこのことを確認します。
二等辺三角形ＯＱＡの底角と外角に着目すると、角ＯＱＡ＝角ＱＯＢ×１/２となります。
また、二等辺三角形ＯＱＣの底角と外角に着目すると、角ＯＱＣ＝角ＱＯＢ×１/２＋角ＡＯＣ×１/２＝角ＱＯＢ×１/２＋４５度となります。
結局、角ＰＱＣ＝４５度となり、三角形ＰＱＣは直角二等辺三角形となり、ＣＰ＝ＣＱ＝ＣＲとなります。
与えられた図形に、与えられた図形を点Ｃを中心に１８０度回転したものを付け加えます。
さらに、図のように２直線を引き、等しい辺の長さと角度をチェックすると、大きな正方形の中に面積を求めたい三角形と合同な直角三角形４個と小さな正方形が入っていることがわかります（算数オリンピックや最難関中学校の入試では定番と言える図ですね。問題を見た瞬間にこの図が思い浮かんでいて、本当にこの図になることの裏付けをしているという感じです）。
したがって、求める面積は
　　（５×５－３×３×１/２）×１/４
　＝４１/８
となります。