今回は、日本数学オリンピック２００５年予選第９問を取り上げて解説します。
算数オリンピックのファイナルレベルの問題なので、算数オリンピックのファイナリストはぜひチャレンジしてみましょう。
問題文には、正五角形の内部に点Ｐをとると書いてありますが、問題文の角度の条件を満たすように２本の直線ＬとＭを引いたとき、その交わった点がＰとなると考えたほうがイメージしやすいでしょう（こういうイメージがあれば、下の解法も自然なものだと感じられると思います）。
直線Ｌ上に、ＡＢ（＝ＡＥ）＝ＡＱとなるように点Ｑをとります（二等辺三角形の作出）。
三角形ＡＢＱはＡＢ＝ＡＱの二等辺三角形だから、角ＡＱＢ＝角ＡＢＰ＝６°となり、角ＱＡＥ＝１８０－６×２－１０８＝６０°となります（等しい辺の間に６０°の角度が出てきましたね）。
２点Ｑ、Ｅを結ぶと三角形ＡＥＱは、１つの角の大きさが６０度の二等辺三角形だから、正三角形となります。
角ＱＥＰ＝６０＋１２＝７２°、角ＥＱＰ＝６０－６＝５４°だから、角ＥＰＱ＝１８０－７２－５４＝５４°となり、三角形ＥＱＰはＥＰ＝ＥＱの二等辺三角形となり、結局、ＥＰ＝ＥＡとなります。
三角形ＥＡＰは、ＥＰ＝ＥＡの二等辺三角形だから、角ＥＡＰ＝（１８０－１２）/２＝８４°となり、角ＢＡＰ＝１０８－８４＝２４°となります。
また、角ＢＡＣ＝３６°だから、角ＣＡＰ＝３６－２４＝１２°となります。
なお、上の解法では正五角形に関する角度の有名知識（灘中学校２０２４年算数１日目第１０問の解答・解説を参照）を利用しています。
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