正十二面体のサイコロがあり、各面には１から２０までの数がいずれか一つずつ書かれていて、１の書かれた面、２の書かれた面、・・・、２０の書かれた面はすべて１面ずつあるとする。また、このサイコロを投げたとき、どの面が出ることも同様に確からしいものとする。
（１）このさいころを２回投げて、出た面に書かれた数の和が６の倍数となる確率を求め、結果のみを答えよ。
（２）このさいころを３回投げて、出た面に書かれた数を５で割った余りを順にa、b、cとする。ただし、５で割り切れるとき、余りは０とする。
（ⅰ）３数の積abcが０となる確率を求めよ。
（ⅱ）abc/６が整数となる確率を求めよ。
（注） 正十二面体のサイコロ・・・→１、２、・・・、２０の数字が１つずつ書かれたカードが２０枚あると考えればよいでしょう。
同様に確からしい→小学生の場合、とりあえず、同じ割合で起こりますと考えればよいでしょう。
確率→小学生の場合、とりあえず、すべての場合に対してある場合が起こる割合と考えればよいでしょう。
abc→a×b×c
（１）も（２）も出た目の数を余りで分類することが第一歩です。
この手法は中学入試問題（聖光学院中学校２００５年第１回算数第３問、大阪星光学院中学校２０２１年算数第１問（５）、甲陽学院中学校２０２４年算数２日目第５問など）でも使える手法なので、しっかりマスターしておく必要があります。
（２）の問題はいずれも余事象を考えると楽になります。
因みに、（２）の（ⅱ）の問題と同じような問題が過去に東大や京大などで出されています（東京大学２００３年前期理科数学第５問、京都大学１９９２年前期文理共通数学第４問、京都大学２０２３年理系数学第３問）。
２００３年の東大の問題を片づけておきましょう。
サイコロをｎ回振ったときの出た目の積が（１）５で割り切れる確率、（２）４で割り切れる確率、（３）２０で割り切れない確率（実際の入試問題では、最後に対数と極限を絡めた計算問題がついていましたが、小学生には無理なのでカットします）。
（１）
全体の確率（１）から、５の倍数（５）が１回も出ない確率を引けばいいですね（余事象）。
５が１回も出ない確率は、ｎ回とも５以外の目が出る場合だから、（５/６）nとなります。
したがって、求める確率は１－（５/６）nとなります。
（２）
全体の確率から、４の倍数（４）が１回も出ず、４以外の偶数（２、６）が１回以下しか出ない確率を引けばいいですね。
４の倍数（４）が１回も出ず、４以外の偶数（２、６）が１回以下しか出ないのは、（あ）ｎ回とも奇数の目が出る場合と（い）１回だけ２か６の目が出て、残りの（ｎ－１）回は奇数の目が出る場合になります。
（あ）の場合
この場合の確率は（３/６）n＝（１/２）nとなります。
（い）の場合
この場合の確率は
２/６×（３/６）n－１×ｎ （２か６の目がｎ回のうちどの回で出るかでｎ通りあるから、ｎ倍する必要がありますね。）
＝２×ｎ/３×３/６×（３/６）n
＝２×ｎ/３×（１/２）n
となります。
したがって、求める確率は
１－｛（１/２）n＋２×ｎ/３×（１/２）n｝
＝１－（２×ｎ＋３）/３×（１/２）n
となります。
（３）
（１）、（２）の計算結果ではなく、計算過程で求めた確率を利用します。
（１）の計算過程で求めた確率は出た目の積が５で割り切れない確率で、（２）の計算過程で求めた確率は出た目の積が４で割り切れない確率ですね。
出た目の積が２０で割り切れない確率は、出た目の積が５で割り切れないか４で割り切れない確率で、これは
出た目の積が５で割り切れない確率＋出た目の積が４で割り切れない確率－出た目の積が５でも４でも割り切れない確率
となります（わかりにくければ、場合の数の問題と考えて、ヴェン図を思い浮かべればよいでしょう）。
出た目の積が５でも４でも割り切れないのは、（Ａ）ｎ回とも１か３の目が出る場合と（Ｂ）１回だけ２か６の目が出て、残りの（ｎ－１）回は１か３の目が出る場合になります。
（Ａ）の場合
この場合の確率は（２/６）n＝（１/３）nとなります。
（Ｂ）の場合
この場合の確率は
２/６×（２/６）n－１×ｎ （２か６の目がｎ回のうちどの回で出るかでｎ通りあるから、ｎ倍する必要がありますね。）
＝ｎ×（１/３）n
となります。
したがって、求める確率は
（５/６）n＋（２×ｎ＋３）/３×（１/２）n－｛（１/３）n＋ｎ×（１/３）n｝
＝（５/６）n＋（２×ｎ＋３）/３×（１/２）n－（ｎ＋１）×（１/３）n
となります。
確率になっていて、しかも、ｎが登場するので面倒そうですが、場合の数の問題にして、ｎを具体的な数字にすれば普通の中学入試問題という感じです。
詳しくは、下記ページで。