日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２０１５年予選の問題
今回は、日本ジュニア数学オリンピック２０１５年予選第４問を取り上げ、解説します。
数の２乗というのは、平方数（同じ数を２回かけあわせた数）ということです。
４つの平方数を組み合わせて２０４、２１１、２３５を作り出していっても解けると思います（例えば、１番大きい１４４と組み合わせる数字を考えてみると、１２１と１００は無理で、８１と組み合わせると、合計が２２５で、２０４と２１１にはできないから、２３５とすることを考えると、２３５－２２５＝１０となり、１と９にすればよいという感じです。２０４と２１１と２３５がそれほど離れた数字ではないことから、バランス的に一番大きな数の１４４とある程度小さな数を組み合わせるはずだと考えて、１４４と１の組合せから順に調べていくこともできます。キッズBEEにチャレンジする子ならこれで十分だと思います）が、少しだけ頭を使います。
一般に、偶数の平方数を４で割ったときの余りは０で、奇数の平方数を４で割ったときの余りは１です。
このことは下の面積図を見ればすぐにわかるでしょう（□、〇が整数のとき、水色の正方形とピンク色の正方形の面積は明らかに４の倍数ですね。紫色の長方形を２個合わせると面積は２×〇×２となり、４の倍数となりますね）。
１から１２の整数は奇数と偶数が６個ずつあるから、２乗した数を４で割ったときの余りが１の数（Ｐと表記します）と０の数（Ｑと表記します）が６個ずつあります。
２０４、２１１、２３５を４で割ったときの余りはそれぞれ０、３、３となります。
ＢもＣもＰから３個、Ｑから１個配られる必要があるから、ＡはＰから４個配られることがあり得ず、Ｑから４個配れれることになります。
１から１２の整数を２乗した数を書き出すと、次のようになります。
Ｐ １ ９ ２５ ４９ ８１ １２１
Ｑ ４ １６ ３６ ６４ １００ １４４
まず、Ａについて考えます。
Ｑの６個の数の合計は４＋１６＋３６＋６４＋１００＋１４４＝２０＋１００＋１００＋１４４＝３６４となります。
Ａに配られた４個の数をそれぞれ２乗した数の合計が２０４だから、QのうちAに配られなかった２個の数を２乗した数の合計は３６４－２０４＝１６０となり、１４４と１６であることがわかり、Aに配られた数は２、６、８、１０となります。
大きな数１４４がＢになる場合、残り３数の２乗の和は２１１－１４４＝６７となりますが、１、９、２５、４９のうち３つを組み合わせて作り出すことはできませんね（８１と１２１を使うのは論外ですね）。
結局、１４４はＣになり、残り３数の２乗の和は２３５－１４４＝９１となり、これは８１＋９＋１となります。
したがって、Cに配られた数は１２、９、３、１となり、Bに配られた数は残った４個の数４、５、７、１１となります。
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