今回は、日本ジュニア数学オリンピック２００５年第５問を取り上げ、解説します。
JJMOの予選がなかったころの問題で、前半の問題は実質的には予選の問題のようなものです。
「正の」というのは０より大きいということです。
まず、小さい数で実験してみましょう。
五進法は５で繰り上がりが生じ、十進法は１０で繰り上がりが生じることに着目すれば、４、２４、１２４、６２４はそれぞれ５－１、５×５－１、５×５×５－１、５×５×５×５－１を計算すれば機械的に求められますね。
五進法 十進法 重なり
１桁 １～４ １～９ １～４（４個）
２桁 ５～２４ １０～９９ １０～２４（１５個）
３桁 ２５～１２４ １００～９９９ １００～１２４（２５個）
４桁 １２５～６２４ １０００～９９９９
５桁 ６２５～
ここまで調べると、調べた範囲にしか桁数が同じ整数がないことにすぐに気づきますね。
一応それを確認しておきます。
以下、５を〇個かけあわせた数を５〇とします（他も同様）。
ある整数（△とします）が五進法でも十進法でも〇桁の整数であるとします。
五進法で〇桁の整数は５〇－１以上５〇未満の整数で、十進法で〇桁の整数は１０〇－１以上１０〇未満の整数だから、△が五進法でも十進法でも〇桁の整数になるのは、１０〇－１≦△＜５〇を満たすときになります（範囲の重なりがあるときですね）。
〇が４のとき、最初に調べたことから、この条件を満たす△がないことは明らかですね。
また、〇が１増えると、１０〇－１が１０倍され、５〇が５倍されるので、〇が４以上のとき△がないことは明らかですね。
したがって、求める個数は
４＋１５＋２５
＝４４個
となります。
因みに、この問題と同じような問題が今年の京大入試で出されている（京都大学２０２４年文系数学第４問）ので、ぜひ解いてみましょう。
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